Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\sqrt{- \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}} \left(\frac{\left(1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right)^{2} \left(2 x - 7\right)^{2}}{4 \left(x^{2} - 7 x + 12\right)} - \frac{\left(1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right) \left(2 x - 7\right)^{2}}{2 \left(x^{2} - 7 x + 12\right)} + \frac{\left(1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right) \left(2 x - 7\right)^{2}}{2 \left(x^{2} - 7 x + 6\right)} - \frac{\left(2 x - 7\right)^{2}}{x^{2} - 7 x + 6} + \frac{\left(2 x - 7\right)^{2} \left(x^{2} - 7 x + 12\right)}{\left(x^{2} - 7 x + 6\right)^{2}} + 1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right)}{x^{2} - 7 x + 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{12} + \frac{\sqrt{19}}{6}}$$
$$x_{2} = \sqrt{\frac{1}{12} + \frac{\sqrt{19}}{6}} + \frac{7}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 6$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{- \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}} \left(\frac{\left(1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right)^{2} \left(2 x - 7\right)^{2}}{4 \left(x^{2} - 7 x + 12\right)} - \frac{\left(1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right) \left(2 x - 7\right)^{2}}{2 \left(x^{2} - 7 x + 12\right)} + \frac{\left(1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right) \left(2 x - 7\right)^{2}}{2 \left(x^{2} - 7 x + 6\right)} - \frac{\left(2 x - 7\right)^{2}}{x^{2} - 7 x + 6} + \frac{\left(2 x - 7\right)^{2} \left(x^{2} - 7 x + 12\right)}{\left(x^{2} - 7 x + 6\right)^{2}} + 1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right)}{x^{2} - 7 x + 12}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{- \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}} \left(\frac{\left(1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right)^{2} \left(2 x - 7\right)^{2}}{4 \left(x^{2} - 7 x + 12\right)} - \frac{\left(1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right) \left(2 x - 7\right)^{2}}{2 \left(x^{2} - 7 x + 12\right)} + \frac{\left(1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right) \left(2 x - 7\right)^{2}}{2 \left(x^{2} - 7 x + 6\right)} - \frac{\left(2 x - 7\right)^{2}}{x^{2} - 7 x + 6} + \frac{\left(2 x - 7\right)^{2} \left(x^{2} - 7 x + 12\right)}{\left(x^{2} - 7 x + 6\right)^{2}} + 1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right)}{x^{2} - 7 x + 12}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 6^-}\left(\frac{\sqrt{- \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}} \left(\frac{\left(1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right)^{2} \left(2 x - 7\right)^{2}}{4 \left(x^{2} - 7 x + 12\right)} - \frac{\left(1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right) \left(2 x - 7\right)^{2}}{2 \left(x^{2} - 7 x + 12\right)} + \frac{\left(1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right) \left(2 x - 7\right)^{2}}{2 \left(x^{2} - 7 x + 6\right)} - \frac{\left(2 x - 7\right)^{2}}{x^{2} - 7 x + 6} + \frac{\left(2 x - 7\right)^{2} \left(x^{2} - 7 x + 12\right)}{\left(x^{2} - 7 x + 6\right)^{2}} + 1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right)}{x^{2} - 7 x + 12}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 6^+}\left(\frac{\sqrt{- \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}} \left(\frac{\left(1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right)^{2} \left(2 x - 7\right)^{2}}{4 \left(x^{2} - 7 x + 12\right)} - \frac{\left(1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right) \left(2 x - 7\right)^{2}}{2 \left(x^{2} - 7 x + 12\right)} + \frac{\left(1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right) \left(2 x - 7\right)^{2}}{2 \left(x^{2} - 7 x + 6\right)} - \frac{\left(2 x - 7\right)^{2}}{x^{2} - 7 x + 6} + \frac{\left(2 x - 7\right)^{2} \left(x^{2} - 7 x + 12\right)}{\left(x^{2} - 7 x + 6\right)^{2}} + 1 - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 7 x + 6}\right)}{x^{2} - 7 x + 12}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 6$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{12} + \frac{\sqrt{19}}{6}}\right] \cup \left[\sqrt{\frac{1}{12} + \frac{\sqrt{19}}{6}} + \frac{7}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{12} + \frac{\sqrt{19}}{6}}, \sqrt{\frac{1}{12} + \frac{\sqrt{19}}{6}} + \frac{7}{2}\right]$$