Sr Examen
Gráfico de la función y = (log(2)/log(x+2))^2
Solución
Ha introducido
[src]
2
/ log(2) \
f(x) = |----------|
\log(x + 2)/
$$f{\left(x \right)} = \left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right)^{2}$$
f = (log(2)/log(x + 2))^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(x + 2 \right)}^{2}}}{\left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(x + 2 \right)}^{2}}}{\left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 + \frac{3}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{\left(x + 2\right)^{2} \log{\left(x + 2 \right)}^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + e^{-3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{3}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{\left(x + 2\right)^{2} \log{\left(x + 2 \right)}^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{3}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{\left(x + 2\right)^{2} \log{\left(x + 2 \right)}^{3}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 + e^{-3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 + e^{-3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 + \frac{3}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{\left(x + 2\right)^{2} \log{\left(x + 2 \right)}^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + e^{-3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{3}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{\left(x + 2\right)^{2} \log{\left(x + 2 \right)}^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{3}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{\left(x + 2\right)^{2} \log{\left(x + 2 \right)}^{3}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 + e^{-3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 + e^{-3}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right)^{2} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right)^{2} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right)^{2} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right)^{2} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (log(2)/log(x + 2))^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 \right)}^{2} \frac{1}{\log{\left(x + 2 \right)}^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 \right)}^{2} \frac{1}{\log{\left(x + 2 \right)}^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 \right)}^{2} \frac{1}{\log{\left(x + 2 \right)}^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 \right)}^{2} \frac{1}{\log{\left(x + 2 \right)}^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right)^{2} = \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(2 - x \right)}^{2}}$$
- No
$$\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right)^{2} = - \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(2 - x \right)}^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right)^{2} = \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(2 - x \right)}^{2}}$$
- No
$$\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}}\right)^{2} = - \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{\log{\left(2 - x \right)}^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar