Sr Examen

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sqrt(x+1)/sqrt(x-1)
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x+1)/sqrt(x-1)

Gráfico de la función y = sqrt(x+1)/sqrt(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _______
       \/ x + 1 
f(x) = ---------
         _______
       \/ x - 1
f(x)=x+1x−1f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} 
f = sqrt(x + 1)/sqrt(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+1x−1=0\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x + 1)/sqrt(x - 1).
1−1\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}
Resultado:
f(0)=−if{\left(0 \right)} = - i
Punto:
(0, -i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12x−1x+1−x+12(x−1)32=0\frac{1}{2 \sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}} - \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1(x+1)32−2(x−1)x+1+3x+1(x−1)24x−1=0\frac{- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \sqrt{x + 1}} + \frac{3 \sqrt{x + 1}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{4 \sqrt{x - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(−1(x+1)32−2(x−1)x+1+3x+1(x−1)24x−1)=−∞i\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \sqrt{x + 1}} + \frac{3 \sqrt{x + 1}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{4 \sqrt{x - 1}}\right) = - \infty i
lim⁡x→1+(−1(x+1)32−2(x−1)x+1+3x+1(x−1)24x−1)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \sqrt{x + 1}} + \frac{3 \sqrt{x + 1}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{4 \sqrt{x - 1}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+1x−1)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x+1x−1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x + 1)/sqrt(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+1xx−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1}}{x \sqrt{x - 1}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x+1xx−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1}}{x \sqrt{x - 1}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+1x−1=1−x−x−1\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} = \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{- x - 1}}
- No
x+1x−1=−1−x−x−1\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}} = - \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{- x - 1}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(x+1)/sqrt(x-1)
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