Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3
-
(3*x-4)^40/(x^2-2)^36
-
y=x^2-x
-
Expresiones idénticas
- arctg(x(dos / tres)(x+ dos))
- arctg(x(2 dividir por 3)(x más 2))
- arctg(x(dos dividir por tres)(x más dos))
- arctgx2/3x+2
- arctg(x(2 dividir por 3)(x+2))
-
Expresiones semejantes
- arctg(x^(2/3)(x+2))
- arctg(x(2/3)(x-2))
-
Expresiones con funciones
- arctg
- arctg(x)/(e^x)
- arctg(x)+5
- arctg(1\(x-1))
- arctg(-0.05x/20)
- arctg(x^2-1)
Gráfico de la función y = arctg(x(2/3)(x+2))
Solución
Ha introducido
[src]
/x*2 \
f(x) = atan|---*(x + 2)|
\ 3 /
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} \left(x + 2\right) \right)}$$
f = atan((2*x/3)*(x + 2))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} \left(x + 2\right) \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} \left(x + 2\right) \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{2 x}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3}}{\frac{4 x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}{9} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{2 x}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3}}{\frac{4 x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}{9} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, -atan(2/3))
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{12 \left(- \frac{16 x \left(x + 1\right)^{2} \left(x + 2\right)}{4 x^{2} \left(x + 2\right)^{2} + 9} + 1\right)}{4 x^{2} \left(x + 2\right)^{2} + 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 + \sqrt{43}}}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 + \sqrt{43}}}{6} - 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 + \sqrt{43}}}{6} - 1, -1 + \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 + \sqrt{43}}}{6}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 + \sqrt{43}}}{6} - 1\right] \cup \left[-1 + \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 + \sqrt{43}}}{6}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{12 \left(- \frac{16 x \left(x + 1\right)^{2} \left(x + 2\right)}{4 x^{2} \left(x + 2\right)^{2} + 9} + 1\right)}{4 x^{2} \left(x + 2\right)^{2} + 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 + \sqrt{43}}}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 + \sqrt{43}}}{6} - 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 + \sqrt{43}}}{6} - 1, -1 + \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 + \sqrt{43}}}{6}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 + \sqrt{43}}}{6} - 1\right] \cup \left[-1 + \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 + \sqrt{43}}}{6}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} \left(x + 2\right) \right)} = \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} \left(x + 2\right) \right)} = \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} \left(x + 2\right) \right)} = \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} \left(x + 2\right) \right)} = \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\pi}{2}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan((x*2/3)*(x + 2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} \left(x + 2\right) \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} \left(x + 2\right) \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} \left(x + 2\right) \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} \left(x + 2\right) \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} \left(x + 2\right) \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x \left(2 - x\right)}{3} \right)}$$
- No
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} \left(x + 2\right) \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x \left(2 - x\right)}{3} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} \left(x + 2\right) \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x \left(2 - x\right)}{3} \right)}$$
- No
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} \left(x + 2\right) \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x \left(2 - x\right)}{3} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar