Sr Examen

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Gráfico de la función y = arctg(x^(2/3)(x+2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           / 2/3        \
f(x) = atan\x   *(x + 2)/
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x^{\frac{2}{3}} \left(x + 2\right) \right)}$$
f = atan(x^(2/3)*(x + 2))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{atan}{\left(x^{\frac{2}{3}} \left(x + 2\right) \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x^(2/3)*(x + 2)).
$$\operatorname{atan}{\left(2 \cdot 0^{\frac{2}{3}} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \left(x + 2\right)}{3 \sqrt[3]{x}}}{x^{\frac{4}{3}} \left(x + 2\right)^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{4}{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
           /       2/3 3 ____\ 
           |12*(-1)   *\/ 10 | 
(-4/5, atan|-----------------|)
           \        25       / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
False

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
False

$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(x^{\frac{2}{3}} \left(x + 2\right) \right)} = \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\pi}{2}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x^(2/3)*(x + 2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x^{\frac{2}{3}} \left(x + 2\right) \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x^{\frac{2}{3}} \left(x + 2\right) \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{atan}{\left(x^{\frac{2}{3}} \left(x + 2\right) \right)} = \operatorname{atan}{\left(\left(- x\right)^{\frac{2}{3}} \left(2 - x\right) \right)}$$
- No
$$\operatorname{atan}{\left(x^{\frac{2}{3}} \left(x + 2\right) \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\left(- x\right)^{\frac{2}{3}} \left(2 - x\right) \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar