Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{2 \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -16315.1152175869$$
$$x_{2} = -23093.8276177627$$
$$x_{3} = 33394.7591253945$$
$$x_{4} = 27462.2789903763$$
$$x_{5} = -29026.0265630144$$
$$x_{6} = -40043.786799176$$
$$x_{7} = -38348.7053355296$$
$$x_{8} = 42717.6529562189$$
$$x_{9} = -25636.139152875$$
$$x_{10} = 37632.3913504509$$
$$x_{11} = -23941.2527454618$$
$$x_{12} = -20551.6428217193$$
$$x_{13} = -41738.8786897091$$
$$x_{14} = -30721.0147356399$$
$$x_{15} = -18009.6397917844$$
$$x_{16} = 30004.7336381735$$
$$x_{17} = 34242.2777675229$$
$$x_{18} = -42586.428151884$$
$$x_{19} = -34111.057629099$$
$$x_{20} = -33263.5396612328$$
$$x_{21} = 41870.1031525007$$
$$x_{22} = -32416.0262669935$$
$$x_{23} = 35089.8005974058$$
$$x_{24} = 22377.6187368982$$
$$x_{25} = 24072.4593299464$$
$$x_{26} = 19835.4784339352$$
$$x_{27} = 18988.1393061528$$
$$x_{28} = 20682.8397638684$$
$$x_{29} = -21399.0208242685$$
$$x_{30} = -18856.9492916941$$
$$x_{31} = -31568.5178199851$$
$$x_{32} = -19704.2847279852$$
$$x_{33} = -26483.598079533$$
$$x_{34} = -24788.6903433097$$
$$x_{35} = 25767.3491704884$$
$$x_{36} = 40175.0105120384$$
$$x_{37} = -35806.1059703664$$
$$x_{38} = -36653.6357630571$$
$$x_{39} = 31699.7357670217$$
$$x_{40} = 26614.8095684922$$
$$x_{41} = 28309.7566128221$$
$$x_{42} = 35937.3273150574$$
$$x_{43} = 32547.245002683$$
$$x_{44} = 39327.4679790075$$
$$x_{45} = 36784.8576484751$$
$$x_{46} = -28178.5425745249$$
$$x_{47} = -40891.3315230118$$
$$x_{48} = 24919.8987337046$$
$$x_{49} = 38479.9281958096$$
$$x_{50} = 23225.0321904926$$
$$x_{51} = 29157.241709707$$
$$x_{52} = 17293.5410559894$$
$$x_{53} = -39196.2446784783$$
$$x_{54} = -34958.5798336815$$
$$x_{55} = 18140.8255698816$$
$$x_{56} = -22246.41641428$$
$$x_{57} = -29873.5174772408$$
$$x_{58} = -27331.0661666544$$
$$x_{59} = -17162.3601718632$$
$$x_{60} = 16446.2904066561$$
$$x_{61} = 21530.2206192242$$
$$x_{62} = -37501.1689609137$$
$$x_{63} = 30852.2318270272$$
$$x_{64} = 41022.5556226027$$
Signos de extremos en los puntos:
(-16315.115217586943, 9.26884395294446e-9)
(-23093.827617762727, 4.62619537587167e-9)
(33394.759125394485, 2.21241485104516e-9)
(27462.27899037631, 3.27149656656176e-9)
(-29026.026563014428, 2.9285020110065e-9)
(-40043.786799176, 1.53870605985372e-9)
(-38348.70533552958, 1.67773715094651e-9)
(42717.65295621894, 1.35211005704354e-9)
(-25636.139152874985, 3.7541614317263e-9)
(37632.391350450904, 1.74221371118306e-9)
(-23941.252745461825, 4.30450200285183e-9)
(-20551.64282171927, 5.8414378551297e-9)
(-41738.878689709076, 1.41626639579825e-9)
(-30721.01473563989, 2.61427121581817e-9)
(-18009.639791784448, 7.60674743326579e-9)
(30004.733638173526, 2.7405755146306e-9)
(34242.27776752293, 2.10425473783945e-9)
(-42586.428151884, 1.36045548959822e-9)
(-34111.05762909898, 2.12047508052798e-9)
(-33263.53966123277, 2.22990420626879e-9)
(41870.103152500655, 1.40740304304426e-9)
(-32416.026266993464, 2.34802731296408e-9)
(35089.80059740584, 2.00383609330237e-9)
(22377.618736898214, 4.92705378156517e-9)
(24072.45932994644, 4.25770786495003e-9)
(19835.478433935237, 6.27085149334799e-9)
(18988.139306152807, 6.84298855579961e-9)
(20682.83976386838, 5.76756747011126e-9)
(-21399.020824268537, 5.38798168093402e-9)
(-18856.94929169411, 6.93853148235274e-9)
(-31568.517819985056, 2.47579028383063e-9)
(-19704.284727985178, 6.35463106817894e-9)
(-26483.598079533032, 3.51774940133591e-9)
(-24788.690343309696, 4.01522865494592e-9)
(25767.349170488418, 3.71602655548288e-9)
(40175.01051203836, 1.528670877624e-9)
(-35806.10597036638, 1.92446548022248e-9)
(-36653.63576305709, 1.83649837389837e-9)
(31699.73576702167, 2.45533653346031e-9)
(26614.80956849221, 3.48315059069789e-9)
(28309.75661282207, 3.07856232379491e-9)
(35937.32731505741, 1.91043742278516e-9)
(32547.245002682954, 2.32913305087589e-9)
(39327.467979007466, 1.59526824849965e-9)
(36784.85764847505, 1.8234193625082e-9)
(-28178.542574524876, 3.10729922013013e-9)
(-40891.3315230118, 1.47558328252327e-9)
(24919.89873370463, 3.97305903237599e-9)
(38479.92819580964, 1.66631413320395e-9)
(23225.032190492588, 4.57407515094515e-9)
(29157.24170970699, 2.90220385640576e-9)
(17293.541055989386, 8.24973351161963e-9)
(-39196.24467847833, 1.60596740444435e-9)
(-34958.57983368149, 2.01890727715575e-9)
(18140.825569881647, 7.49713233859708e-9)
(-22246.41641428004, 4.98533989209954e-9)
(-29873.517477240795, 2.76470323040961e-9)
(-27331.066166654437, 3.30298327610778e-9)
(-17162.36017186324, 8.37632482089311e-9)
(16446.290406656062, 9.12158315748907e-9)
(21530.220619224183, 5.32251765375969e-9)
(-37501.168960913725, 1.75442738568204e-9)
(30852.231827027164, 2.59208153851824e-9)
(41022.55562260269, 1.46615825322182e-9)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico