Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-x^3
-
x^4-2x^2
-
1-x^3
-
x^2/(x-3)
-
Expresiones idénticas
- sin(x)+ uno /2sin(2x)
- seno de (x) más 1 dividir por 2 seno de (2x)
- seno de (x) más uno dividir por 2 seno de (2x)
- sinx+1/2sin2x
- sin(x)+1 dividir por 2sin(2x)
-
Expresiones semejantes
- sin(x)+1/2*sin2x
- sin(x)+(1/2)sin(2x)
- sin(x)+1/2*sin(2x)
- sin(x)-1/2sin(2x)
- sinx+1/2sin(2x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)-3
- sinx/(2+cosx)
- sin(x)*cos(x)+x
- sin(x)+(x/2)
- sin(x^6)
Gráfico de la función y = sin(x)+1/2sin(2x)
Solución
Ha introducido
[src]
sin(2*x)
f(x) = sin(x) + --------
2
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
f = sin(x) + sin(2*x)/2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 28.2743275355147$$
$$x_{2} = -15.7079741551755$$
$$x_{3} = -75.398223686155$$
$$x_{4} = -31.4159265358979$$
$$x_{5} = -91.1063173161218$$
$$x_{6} = 87.9645943005142$$
$$x_{7} = -87.9645943005142$$
$$x_{8} = 15.7080397066029$$
$$x_{9} = 6.28318530717959$$
$$x_{10} = -59.6902836920888$$
$$x_{11} = 100.530964914873$$
$$x_{12} = -59.6902757594272$$
$$x_{13} = 65.9734548161256$$
$$x_{14} = 62.8318530717959$$
$$x_{15} = -53.4071523808127$$
$$x_{16} = 97.389506033414$$
$$x_{17} = -69.1150383789755$$
$$x_{18} = 28.2742362262029$$
$$x_{19} = 12.5663706143592$$
$$x_{20} = 94.2477796076938$$
$$x_{21} = 31.4159265358979$$
$$x_{22} = -37.6991118430775$$
$$x_{23} = -21.9911516405744$$
$$x_{24} = -47.1240173901594$$
$$x_{25} = -97.3894529845737$$
$$x_{26} = -1083.8495084391$$
$$x_{27} = -56.5486677646163$$
$$x_{28} = 81.6814089933346$$
$$x_{29} = -94.2477796076938$$
$$x_{30} = 43.9822971502571$$
$$x_{31} = -34.5573938477265$$
$$x_{32} = 21.9911516419074$$
$$x_{33} = 72.2566292957295$$
$$x_{34} = 59.6903404916682$$
$$x_{35} = -3.14171741723949$$
$$x_{36} = 78.5397496778866$$
$$x_{37} = 72.2566368440238$$
$$x_{38} = 34.557448949744$$
$$x_{39} = 56.5486677646163$$
$$x_{40} = -100.530964914873$$
$$x_{41} = -28.2742611423571$$
$$x_{42} = 9.42490616313103$$
$$x_{43} = 84.8228826659845$$
$$x_{44} = -15.7080226365019$$
$$x_{45} = 18.8495559215388$$
$$x_{46} = -65.9734547074718$$
$$x_{47} = 0$$
$$x_{48} = -43.9822971502571$$
$$x_{49} = -72.2565620594227$$
$$x_{50} = -12.5663706143592$$
$$x_{51} = 65.9735385828884$$
$$x_{52} = 40.8405826017537$$
$$x_{53} = -6.28318530717959$$
$$x_{54} = 75.398223686155$$
$$x_{55} = -9.42485173622935$$
$$x_{56} = -50.2654824574367$$
$$x_{57} = -81.6814089933346$$
$$x_{58} = 50.2654824574367$$
$$x_{59} = -78.5396939083992$$
$$x_{60} = 37.6991118430775$$
$$x_{61} = -25.1327412287183$$
$$x_{62} = 72.2564974285085$$
$$x_{63} = 53.4072061236969$$
$$x_{64} = 21.9912781084223$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 28.2743275355147$$
$$x_{2} = -15.7079741551755$$
$$x_{3} = -75.398223686155$$
$$x_{4} = -31.4159265358979$$
$$x_{5} = -91.1063173161218$$
$$x_{6} = 87.9645943005142$$
$$x_{7} = -87.9645943005142$$
$$x_{8} = 15.7080397066029$$
$$x_{9} = 6.28318530717959$$
$$x_{10} = -59.6902836920888$$
$$x_{11} = 100.530964914873$$
$$x_{12} = -59.6902757594272$$
$$x_{13} = 65.9734548161256$$
$$x_{14} = 62.8318530717959$$
$$x_{15} = -53.4071523808127$$
$$x_{16} = 97.389506033414$$
$$x_{17} = -69.1150383789755$$
$$x_{18} = 28.2742362262029$$
$$x_{19} = 12.5663706143592$$
$$x_{20} = 94.2477796076938$$
$$x_{21} = 31.4159265358979$$
$$x_{22} = -37.6991118430775$$
$$x_{23} = -21.9911516405744$$
$$x_{24} = -47.1240173901594$$
$$x_{25} = -97.3894529845737$$
$$x_{26} = -1083.8495084391$$
$$x_{27} = -56.5486677646163$$
$$x_{28} = 81.6814089933346$$
$$x_{29} = -94.2477796076938$$
$$x_{30} = 43.9822971502571$$
$$x_{31} = -34.5573938477265$$
$$x_{32} = 21.9911516419074$$
$$x_{33} = 72.2566292957295$$
$$x_{34} = 59.6903404916682$$
$$x_{35} = -3.14171741723949$$
$$x_{36} = 78.5397496778866$$
$$x_{37} = 72.2566368440238$$
$$x_{38} = 34.557448949744$$
$$x_{39} = 56.5486677646163$$
$$x_{40} = -100.530964914873$$
$$x_{41} = -28.2742611423571$$
$$x_{42} = 9.42490616313103$$
$$x_{43} = 84.8228826659845$$
$$x_{44} = -15.7080226365019$$
$$x_{45} = 18.8495559215388$$
$$x_{46} = -65.9734547074718$$
$$x_{47} = 0$$
$$x_{48} = -43.9822971502571$$
$$x_{49} = -72.2565620594227$$
$$x_{50} = -12.5663706143592$$
$$x_{51} = 65.9735385828884$$
$$x_{52} = 40.8405826017537$$
$$x_{53} = -6.28318530717959$$
$$x_{54} = 75.398223686155$$
$$x_{55} = -9.42485173622935$$
$$x_{56} = -50.2654824574367$$
$$x_{57} = -81.6814089933346$$
$$x_{58} = 50.2654824574367$$
$$x_{59} = -78.5396939083992$$
$$x_{60} = 37.6991118430775$$
$$x_{61} = -25.1327412287183$$
$$x_{62} = 72.2564974285085$$
$$x_{63} = 53.4072061236969$$
$$x_{64} = 21.9912781084223$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{5} = \pi$$
$$x_{6} = \frac{5 \pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{5} = \pi$$
$$x_{6} = \frac{5 \pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
___ -5*pi 3*\/ 3 (-----, -------) 3 4
(-pi, 0)
___ -pi -3*\/ 3 (----, --------) 3 4
___ pi 3*\/ 3 (--, -------) 3 4
(pi, 0)
___ 5*pi -3*\/ 3 (----, --------) 3 4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, 0\right] \cup \left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, 0\right] \cup \left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + sin(2*x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = - \sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = - \sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar