Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^3+2)
-
x*e^(-x)^2
-
2*x^3-15*x^2+36*x-32
-
x*(x-4)
-
Expresiones idénticas
- sin(x)- uno /2sin(2x)
- seno de (x) menos 1 dividir por 2 seno de (2x)
- seno de (x) menos uno dividir por 2 seno de (2x)
- sinx-1/2sin2x
- sin(x)-1 dividir por 2sin(2x)
-
Expresiones semejantes
- sin(x)+1/2sin(2x)
- sinx-1/2sin(2x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x-pi)-1
- sin(x)/1+cos(x)
- sin(-x+3)
- sin(4*x)^(2)
- sint^2
Gráfico de la función y = sin(x)-1/2sin(2x)
Solución
Ha introducido
[src]
sin(2*x)
f(x) = sin(x) - --------
2
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
f = sin(x) - sin(2*x)/2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 65.9734457253857$$
$$x_{2} = -91.106186954104$$
$$x_{3} = 31.4160561497334$$
$$x_{4} = -100.530843957291$$
$$x_{5} = 43.9823032538019$$
$$x_{6} = -25.1328674095127$$
$$x_{7} = -59.6902604182061$$
$$x_{8} = -21.9911485751286$$
$$x_{9} = 87.9646679208845$$
$$x_{10} = 21.9911485751286$$
$$x_{11} = -81.6814265277516$$
$$x_{12} = -3.14159265358979$$
$$x_{13} = -15.707963267949$$
$$x_{14} = 18.8494325865513$$
$$x_{15} = 62.8317326282647$$
$$x_{16} = -53.4070751110265$$
$$x_{17} = -72.2566310325652$$
$$x_{18} = 6.28310686972697$$
$$x_{19} = 84.8230016469244$$
$$x_{20} = 75.3983560849494$$
$$x_{21} = 37.699190106891$$
$$x_{22} = 50.2653660953425$$
$$x_{23} = -65.9734457253857$$
$$x_{24} = 9.42477796076938$$
$$x_{25} = 34.5575191894877$$
$$x_{26} = 0$$
$$x_{27} = 97.3893722612836$$
$$x_{28} = 53.4070751110265$$
$$x_{29} = 59.6902604182061$$
$$x_{30} = -43.9823032324142$$
$$x_{31} = -28.2743338823081$$
$$x_{32} = -94.2477125450604$$
$$x_{33} = 94.2477801894829$$
$$x_{34} = 43.982408931344$$
$$x_{35} = 15.707963267949$$
$$x_{36} = -6.28311070964686$$
$$x_{37} = 50.2654784088459$$
$$x_{38} = 87.9646063176306$$
$$x_{39} = -37.6991249685283$$
$$x_{40} = -31.4160020636547$$
$$x_{41} = -37.6991527323202$$
$$x_{42} = -47.1238898038469$$
$$x_{43} = 72.2566310325652$$
$$x_{44} = 75.3983371038378$$
$$x_{45} = -50.2654115920793$$
$$x_{46} = 100.53090005808$$
$$x_{47} = 6.28317667998233$$
$$x_{48} = -97.3893722612836$$
$$x_{49} = -81.6814156709145$$
$$x_{50} = -34.5575191894877$$
$$x_{51} = -69.1151673590674$$
$$x_{52} = -75.398302687768$$
$$x_{53} = 40.8407044966673$$
$$x_{54} = -9.42477796076938$$
$$x_{55} = 78.5398163397448$$
$$x_{56} = 56.5485993084863$$
$$x_{57} = -78.5398163397448$$
$$x_{58} = -12.566243836043$$
$$x_{59} = 37.6991667998317$$
$$x_{60} = -56.5485438718624$$
$$x_{61} = 81.6814908613415$$
$$x_{62} = 12.5662986015402$$
$$x_{63} = 28.2743338823081$$
$$x_{64} = -87.9646059734436$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 65.9734457253857$$
$$x_{2} = -91.106186954104$$
$$x_{3} = 31.4160561497334$$
$$x_{4} = -100.530843957291$$
$$x_{5} = 43.9823032538019$$
$$x_{6} = -25.1328674095127$$
$$x_{7} = -59.6902604182061$$
$$x_{8} = -21.9911485751286$$
$$x_{9} = 87.9646679208845$$
$$x_{10} = 21.9911485751286$$
$$x_{11} = -81.6814265277516$$
$$x_{12} = -3.14159265358979$$
$$x_{13} = -15.707963267949$$
$$x_{14} = 18.8494325865513$$
$$x_{15} = 62.8317326282647$$
$$x_{16} = -53.4070751110265$$
$$x_{17} = -72.2566310325652$$
$$x_{18} = 6.28310686972697$$
$$x_{19} = 84.8230016469244$$
$$x_{20} = 75.3983560849494$$
$$x_{21} = 37.699190106891$$
$$x_{22} = 50.2653660953425$$
$$x_{23} = -65.9734457253857$$
$$x_{24} = 9.42477796076938$$
$$x_{25} = 34.5575191894877$$
$$x_{26} = 0$$
$$x_{27} = 97.3893722612836$$
$$x_{28} = 53.4070751110265$$
$$x_{29} = 59.6902604182061$$
$$x_{30} = -43.9823032324142$$
$$x_{31} = -28.2743338823081$$
$$x_{32} = -94.2477125450604$$
$$x_{33} = 94.2477801894829$$
$$x_{34} = 43.982408931344$$
$$x_{35} = 15.707963267949$$
$$x_{36} = -6.28311070964686$$
$$x_{37} = 50.2654784088459$$
$$x_{38} = 87.9646063176306$$
$$x_{39} = -37.6991249685283$$
$$x_{40} = -31.4160020636547$$
$$x_{41} = -37.6991527323202$$
$$x_{42} = -47.1238898038469$$
$$x_{43} = 72.2566310325652$$
$$x_{44} = 75.3983371038378$$
$$x_{45} = -50.2654115920793$$
$$x_{46} = 100.53090005808$$
$$x_{47} = 6.28317667998233$$
$$x_{48} = -97.3893722612836$$
$$x_{49} = -81.6814156709145$$
$$x_{50} = -34.5575191894877$$
$$x_{51} = -69.1151673590674$$
$$x_{52} = -75.398302687768$$
$$x_{53} = 40.8407044966673$$
$$x_{54} = -9.42477796076938$$
$$x_{55} = 78.5398163397448$$
$$x_{56} = 56.5485993084863$$
$$x_{57} = -78.5398163397448$$
$$x_{58} = -12.566243836043$$
$$x_{59} = 37.6991667998317$$
$$x_{60} = -56.5485438718624$$
$$x_{61} = 81.6814908613415$$
$$x_{62} = 12.5662986015402$$
$$x_{63} = 28.2743338823081$$
$$x_{64} = -87.9646059734436$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{5} = \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{6} = 2 \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{5} = \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{6} = 2 \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
___ -4*pi 3*\/ 3 (-----, -------) 3 4
___ -2*pi -3*\/ 3 (-----, --------) 3 4
___ 2*pi 3*\/ 3 (----, -------) 3 4
___ 4*pi -3*\/ 3 (----, --------) 3 4
(2*pi, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - i \log{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, \pi\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - i \log{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, \pi\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) - sin(2*x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = - \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = \sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = - \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} = \sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar