Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \left(- \frac{3 \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -36771.9092582334$$
$$x_{2} = -42704.3275488931$$
$$x_{3} = -40161.8333160056$$
$$x_{4} = 29335.0168233245$$
$$x_{5} = -39314.3443611602$$
$$x_{6} = -41009.3270199519$$
$$x_{7} = 19207.3355276823$$
$$x_{8} = 18366.0244380409$$
$$x_{9} = -30839.8016003236$$
$$x_{10} = -38466.8604678098$$
$$x_{11} = 34409.5268552136$$
$$x_{12} = 31871.7781381353$$
$$x_{13} = -32534.6479611996$$
$$x_{14} = 21734.7460118514$$
$$x_{15} = -21519.1567292644$$
$$x_{16} = -33382.0848611304$$
$$x_{17} = -25755.5464117362$$
$$x_{18} = 35255.6218295883$$
$$x_{19} = 23421.8499209708$$
$$x_{20} = -24060.9222663032$$
$$x_{21} = 28489.7007795329$$
$$x_{22} = 36101.7946420154$$
$$x_{23} = -35924.4427198991$$
$$x_{24} = -35076.9828066571$$
$$x_{25} = -23213.6418734487$$
$$x_{26} = 20049.2850587014$$
$$x_{27} = -26602.8861753269$$
$$x_{28} = 24265.8932603606$$
$$x_{29} = -41856.8251857654$$
$$x_{30} = 43720.045973036$$
$$x_{31} = 37794.3508648967$$
$$x_{32} = 41180.1739722988$$
$$x_{33} = -29992.3936778243$$
$$x_{34} = 38640.7241898224$$
$$x_{35} = -37619.3819763216$$
$$x_{36} = 27644.543846381$$
$$x_{37} = 31026.0679207435$$
$$x_{38} = 42873.3800747156$$
$$x_{39} = 26799.5632354449$$
$$x_{40} = -20671.9580721592$$
$$x_{41} = 5.00431666434561$$
$$x_{42} = 33563.5162494731$$
$$x_{43} = -18977.6677980342$$
$$x_{44} = -19824.7936012657$$
$$x_{45} = 25110.2132198278$$
$$x_{46} = -34229.5300076111$$
$$x_{47} = 42026.7551591431$$
$$x_{48} = 32717.5972950213$$
$$x_{49} = -29144.9971004362$$
$$x_{50} = -31687.2199647727$$
$$x_{51} = 39487.1550532335$$
$$x_{52} = -28297.6128782659$$
$$x_{53} = -24908.2244883847$$
$$x_{54} = 40333.6395111927$$
$$x_{55} = -27450.2421446236$$
$$x_{56} = 25954.7787365298$$
$$x_{57} = 20891.7803914431$$
$$x_{58} = 36948.0394192977$$
$$x_{59} = 30180.4769374584$$
$$x_{60} = -22366.3857540542$$
$$x_{61} = 0$$
$$x_{62} = 22578.1197429791$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{3 \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{3 \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[5.00431666434561, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$