Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg^3(x)(1/(x+1))

Gráfico de la función y = arctg^3(x)(1/(x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           3   
       atan (x)
f(x) = --------
        x + 1
f(x)=atan⁡3(x)x+1f{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}}{x + 1} 
f = atan(x)^3/(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡3(x)x+1=0\frac{\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x)^3/(x + 1).
atan⁡3(0)1\frac{\operatorname{atan}^{3}{\left(0 \right)}}{1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3atan⁡2(x)(x+1)(x2+1)−atan⁡3(x)(x+1)2=0\frac{3 \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2.90836655662539x_{1} = 2.90836655662539
x2=0x_{2} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(2.9083665566253902, 0.487387412816838)

(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=2.90836655662539x_{2} = 2.90836655662539
Decrece en los intervalos
(−∞,2.90836655662539]\left(-\infty, 2.90836655662539\right]
Crece en los intervalos
[2.90836655662539,∞)\left[2.90836655662539, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−3(xatan⁡(x)−1)(x2+1)2−3atan⁡(x)(x+1)(x2+1)+atan⁡2(x)(x+1)2)atan⁡(x)x+1=0\frac{2 \left(- \frac{3 \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−36771.9092582334x_{1} = -36771.9092582334
x2=−42704.3275488931x_{2} = -42704.3275488931
x3=−40161.8333160056x_{3} = -40161.8333160056
x4=29335.0168233245x_{4} = 29335.0168233245
x5=−39314.3443611602x_{5} = -39314.3443611602
x6=−41009.3270199519x_{6} = -41009.3270199519
x7=19207.3355276823x_{7} = 19207.3355276823
x8=18366.0244380409x_{8} = 18366.0244380409
x9=−30839.8016003236x_{9} = -30839.8016003236
x10=−38466.8604678098x_{10} = -38466.8604678098
x11=34409.5268552136x_{11} = 34409.5268552136
x12=31871.7781381353x_{12} = 31871.7781381353
x13=−32534.6479611996x_{13} = -32534.6479611996
x14=21734.7460118514x_{14} = 21734.7460118514
x15=−21519.1567292644x_{15} = -21519.1567292644
x16=−33382.0848611304x_{16} = -33382.0848611304
x17=−25755.5464117362x_{17} = -25755.5464117362
x18=35255.6218295883x_{18} = 35255.6218295883
x19=23421.8499209708x_{19} = 23421.8499209708
x20=−24060.9222663032x_{20} = -24060.9222663032
x21=28489.7007795329x_{21} = 28489.7007795329
x22=36101.7946420154x_{22} = 36101.7946420154
x23=−35924.4427198991x_{23} = -35924.4427198991
x24=−35076.9828066571x_{24} = -35076.9828066571
x25=−23213.6418734487x_{25} = -23213.6418734487
x26=20049.2850587014x_{26} = 20049.2850587014
x27=−26602.8861753269x_{27} = -26602.8861753269
x28=24265.8932603606x_{28} = 24265.8932603606
x29=−41856.8251857654x_{29} = -41856.8251857654
x30=43720.045973036x_{30} = 43720.045973036
x31=37794.3508648967x_{31} = 37794.3508648967
x32=41180.1739722988x_{32} = 41180.1739722988
x33=−29992.3936778243x_{33} = -29992.3936778243
x34=38640.7241898224x_{34} = 38640.7241898224
x35=−37619.3819763216x_{35} = -37619.3819763216
x36=27644.543846381x_{36} = 27644.543846381
x37=31026.0679207435x_{37} = 31026.0679207435
x38=42873.3800747156x_{38} = 42873.3800747156
x39=26799.5632354449x_{39} = 26799.5632354449
x40=−20671.9580721592x_{40} = -20671.9580721592
x41=5.00431666434561x_{41} = 5.00431666434561
x42=33563.5162494731x_{42} = 33563.5162494731
x43=−18977.6677980342x_{43} = -18977.6677980342
x44=−19824.7936012657x_{44} = -19824.7936012657
x45=25110.2132198278x_{45} = 25110.2132198278
x46=−34229.5300076111x_{46} = -34229.5300076111
x47=42026.7551591431x_{47} = 42026.7551591431
x48=32717.5972950213x_{48} = 32717.5972950213
x49=−29144.9971004362x_{49} = -29144.9971004362
x50=−31687.2199647727x_{50} = -31687.2199647727
x51=39487.1550532335x_{51} = 39487.1550532335
x52=−28297.6128782659x_{52} = -28297.6128782659
x53=−24908.2244883847x_{53} = -24908.2244883847
x54=40333.6395111927x_{54} = 40333.6395111927
x55=−27450.2421446236x_{55} = -27450.2421446236
x56=25954.7787365298x_{56} = 25954.7787365298
x57=20891.7803914431x_{57} = 20891.7803914431
x58=36948.0394192977x_{58} = 36948.0394192977
x59=30180.4769374584x_{59} = 30180.4769374584
x60=−22366.3857540542x_{60} = -22366.3857540542
x61=0x_{61} = 0
x62=22578.1197429791x_{62} = 22578.1197429791
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(2(−3(xatan⁡(x)−1)(x2+1)2−3atan⁡(x)(x+1)(x2+1)+atan⁡2(x)(x+1)2)atan⁡(x)x+1)=∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{3 \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = \infty
lim⁡x→−1+(2(−3(xatan⁡(x)−1)(x2+1)2−3atan⁡(x)(x+1)(x2+1)+atan⁡2(x)(x+1)2)atan⁡(x)x+1)=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{3 \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[5.00431666434561,∞)\left[5.00431666434561, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡3(x)x+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(atan⁡3(x)x+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x)^3/(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡3(x)x(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡3(x)x(x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡3(x)x+1=−atan⁡3(x)1−x\frac{\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}}{x + 1} = - \frac{\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}}{1 - x}
- No
atan⁡3(x)x+1=atan⁡3(x)1−x\frac{\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}}{x + 1} = \frac{\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}}{1 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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