Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg(x/(2-x))

Gráfico de la función y = arctg(x/(2-x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /  x  \
f(x) = atan|-----|
           \2 - x/
f(x)=atan⁡(x2−x)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2 - x} \right)} 
f = atan(x/(2 - x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(x2−x)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2 - x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x/(2 - x)).
atan⁡(02−0)\operatorname{atan}{\left(\frac{0}{2 - 0} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(2−x)2+12−xx2(2−x)2+1=0\frac{\frac{x}{\left(2 - x\right)^{2}} + \frac{1}{2 - x}}{\frac{x^{2}}{\left(2 - x\right)^{2}} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(xx−2−1)(x(xx−2−1)(x−2)(x2(x−2)2+1)−1)(x−2)2(x2(x−2)2+1)=0\frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{x \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} + 1\right)} - 1\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=2x_{1} = 2

lim⁡x→2−(2(xx−2−1)(x(xx−2−1)(x−2)(x2(x−2)2+1)−1)(x−2)2(x2(x−2)2+1))=−0.5\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{x \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} + 1\right)} - 1\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} + 1\right)}\right) = -0.5
lim⁡x→2+(2(xx−2−1)(x(xx−2−1)(x−2)(x2(x−2)2+1)−1)(x−2)2(x2(x−2)2+1))=−0.5\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{x \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} + 1\right)} - 1\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}} + 1\right)}\right) = -0.5
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Convexa en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(x2−x)=−π4\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2 - x} \right)} = - \frac{\pi}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−π4y = - \frac{\pi}{4}
lim⁡x→∞atan⁡(x2−x)=−π4\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2 - x} \right)} = - \frac{\pi}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−π4y = - \frac{\pi}{4}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x/(2 - x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(x2−x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2 - x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(x2−x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2 - x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(x2−x)=−atan⁡(xx+2)\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2 - x} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x + 2} \right)}
- No
atan⁡(x2−x)=atan⁡(xx+2)\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2 - x} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x + 2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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