Sr Examen

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Gráfico de la función y = 2ctg1/2(x/2-pi/6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       2*cot(1) /x   pi\
f(x) = --------*|- - --|
          2     \2   6 /
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 \cot{\left(1 \right)}}{2} \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right)$$
f = ((2*cot(1))/2)*(x/2 - pi/6)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 \cot{\left(1 \right)}}{2} \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.0471975511966$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((2*cot(1))/2)*(x/2 - pi/6).
$$\frac{2 \cot{\left(1 \right)}}{2} \left(- \frac{\pi}{6} + \frac{0}{2}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{\pi \cot{\left(1 \right)}}{6}$$
Punto:
(0, -pi*cot(1)/6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\cot{\left(1 \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$0 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cot{\left(1 \right)}}{2} \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cot{\left(1 \right)}}{2} \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((2*cot(1))/2)*(x/2 - pi/6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) \cot{\left(1 \right)}}{x}\right) = \frac{\cot{\left(1 \right)}}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) \cot{\left(1 \right)}}{x}\right) = \frac{\cot{\left(1 \right)}}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x \cot{\left(1 \right)}}{2}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 \cot{\left(1 \right)}}{2} \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \left(- \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) \cot{\left(1 \right)}$$
- No
$$\frac{2 \cot{\left(1 \right)}}{2} \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = - \left(- \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) \cot{\left(1 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar