Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp^(5-x)(2x-10)-exp^(5-x)(x^2-10x+10)

Gráfico de la función y = exp^(5-x)(2x-10)-exp^(5-x)(x^2-10x+10)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        5 - x               5 - x / 2            \
f(x) = E     *(2*x - 10) - E     *\x  - 10*x + 10/
f(x)=e5−x(2x−10)−e5−x((x2−10x)+10)f{\left(x \right)} = e^{5 - x} \left(2 x - 10\right) - e^{5 - x} \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right) 
f = E^(5 - x)*(2*x - 10) - E^(5 - x)*(x^2 - 10*x + 10)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10000000001000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e5−x(2x−10)−e5−x((x2−10x)+10)=0e^{5 - x} \left(2 x - 10\right) - e^{5 - x} \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = 2
x2=10x_{2} = 10
Solución numérica
x1=103.683416381602x_{1} = 103.683416381602
x2=117.611316367195x_{2} = 117.611316367195
x3=66.1070358204964x_{3} = 66.1070358204964
x4=95.7367065022464x_{4} = 95.7367065022464
x5=62.1982992413135x_{5} = 62.1982992413135
x6=85.8218252058126x_{6} = 85.8218252058126
x7=52.5353536676441x_{7} = 52.5353536676441
x8=54.4505457893126x_{8} = 54.4505457893126
x9=77.9115782220985x_{9} = 77.9115782220985
x10=99.7087104090004x_{10} = 99.7087104090004
x11=41.5003458238026x_{11} = 41.5003458238026
x12=93.7518577648548x_{12} = 93.7518577648548
x13=101.695750825422x_{13} = 101.695750825422
x14=75.9381398571095x_{14} = 75.9381398571095
x15=119.6026796134x_{15} = 119.6026796134
x16=97.7223441832527x_{16} = 97.7223441832527
x17=115.620316253604x_{17} = 115.620316253604
x18=50.6329315777041x_{18} = 50.6329315777041
x19=71.9976048399409x_{19} = 71.9976048399409
x20=60.2512110327951x_{20} = 60.2512110327951
x21=89.7848043204433x_{21} = 89.7848043204433
x22=64.1504791272315x_{22} = 64.1504791272315
x23=10x_{23} = 10
x24=48.7465984088397x_{24} = 48.7465984088397
x25=91.7678652853992x_{25} = 91.7678652853992
x26=83.8421094511834x_{26} = 83.8421094511834
x27=46.8810299904786x_{27} = 46.8810299904786
x28=58.3100990117096x_{28} = 58.3100990117096
x29=113.629702759959x_{29} = 113.629702759959
x30=39.8482389669585x_{30} = 39.8482389669585
x31=56.3760726569186x_{31} = 56.3760726569186
x32=87.8027592857017x_{32} = 87.8027592857017
x33=107.660449507528x_{33} = 107.660449507528
x34=73.9667334209114x_{34} = 73.9667334209114
x35=121.594384376032x_{35} = 121.594384376032
x36=43.2435146010577x_{36} = 43.2435146010577
x37=111.639501452568x_{37} = 111.639501452568
x38=105.67166269524x_{38} = 105.67166269524
x39=109.649740213003x_{39} = 109.649740213003
x40=2x_{40} = 2
x41=79.8868371329883x_{41} = 79.8868371329883
x42=70.0310420605412x_{42} = 70.0310420605412
x43=68.0673845909795x_{43} = 68.0673845909795
x44=81.8637338311871x_{44} = 81.8637338311871
x45=45.0431010802859x_{45} = 45.0431010802859
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^(5 - x)*(2*x - 10) - E^(5 - x)*(x^2 - 10*x + 10).
e5−0(−10+0⋅2)−e5−0((02−0)+10)e^{5 - 0} \left(-10 + 0 \cdot 2\right) - e^{5 - 0} \left(\left(0^{2} - 0\right) + 10\right)
Resultado:
f(0)=−20e5f{\left(0 \right)} = - 20 e^{5}
Punto:
(0, -20*exp(5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(2x−10)e5−x−(2x−10)e5−x+((x2−10x)+10)e5−x+2e5−x=0- \left(2 x - 10\right) e^{5 - x} - \left(2 x - 10\right) e^{5 - x} + \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right) e^{5 - x} + 2 e^{5 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=7−17x_{1} = 7 - \sqrt{17}
x2=17+7x_{2} = \sqrt{17} + 7
Signos de extremos en los puntos:
                                    ____   /                  2            \         ____ 
       ____  /        ____\  -2 + \/ 17    |      /      ____\         ____|  -2 + \/ 17  
(7 - \/ 17, \4 - 2*\/ 17 /*e            - \-60 + \7 - \/ 17 /  + 10*\/ 17 /*e           )

                                    ____   /                  2            \         ____ 
       ____  /        ____\  -2 - \/ 17    |      /      ____\         ____|  -2 - \/ 17  
(7 + \/ 17, \4 + 2*\/ 17 /*e            - \-60 + \7 + \/ 17 /  - 10*\/ 17 /*e           )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=17+7x_{1} = \sqrt{17} + 7
Puntos máximos de la función:
x1=7−17x_{1} = 7 - \sqrt{17}
Decrece en los intervalos
(−∞,7−17]∪[17+7,∞)\left(-\infty, 7 - \sqrt{17}\right] \cup \left[\sqrt{17} + 7, \infty\right)
Crece en los intervalos
[7−17,17+7]\left[7 - \sqrt{17}, \sqrt{17} + 7\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−x2+16x−46)e5−x=0\left(- x^{2} + 16 x - 46\right) e^{5 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=8−32x_{1} = 8 - 3 \sqrt{2}
x2=32+8x_{2} = 3 \sqrt{2} + 8

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[8−32,32+8]\left[8 - 3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2} + 8\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,8−32]∪[32+8,∞)\left(-\infty, 8 - 3 \sqrt{2}\right] \cup \left[3 \sqrt{2} + 8, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e5−x(2x−10)−e5−x((x2−10x)+10))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(e^{5 - x} \left(2 x - 10\right) - e^{5 - x} \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e5−x(2x−10)−e5−x((x2−10x)+10))=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{5 - x} \left(2 x - 10\right) - e^{5 - x} \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(5 - x)*(2*x - 10) - E^(5 - x)*(x^2 - 10*x + 10), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e5−x(2x−10)−e5−x((x2−10x)+10)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{5 - x} \left(2 x - 10\right) - e^{5 - x} \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(e5−x(2x−10)−e5−x((x2−10x)+10)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{5 - x} \left(2 x - 10\right) - e^{5 - x} \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e5−x(2x−10)−e5−x((x2−10x)+10)=(−2x−10)ex+5−(x2+10x+10)ex+5e^{5 - x} \left(2 x - 10\right) - e^{5 - x} \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right) = \left(- 2 x - 10\right) e^{x + 5} - \left(x^{2} + 10 x + 10\right) e^{x + 5}
- No
e5−x(2x−10)−e5−x((x2−10x)+10)=−(−2x−10)ex+5+(x2+10x+10)ex+5e^{5 - x} \left(2 x - 10\right) - e^{5 - x} \left(\left(x^{2} - 10 x\right) + 10\right) = - \left(- 2 x - 10\right) e^{x + 5} + \left(x^{2} + 10 x + 10\right) e^{x + 5}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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