Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ exp(-x)*(x-1)^3

Gráfico de la función y = exp(-x)*(x-1)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -x        3
f(x) = e  *(x - 1)
f(x)=(x−1)3e−xf{\left(x \right)} = \left(x - 1\right)^{3} e^{- x} 
f = (x - 1)^3*exp(-x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5000000025000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−1)3e−x=0\left(x - 1\right)^{3} e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=90.0329966733037x_{1} = 90.0329966733037
x2=121.775930505841x_{2} = 121.775930505841
x3=54.8443340978913x_{3} = 54.8443340978913
x4=86.0816973543389x_{4} = 86.0816973543389
x5=43.6297358015102x_{5} = 43.6297358015102
x6=103.897488575925x_{6} = 103.897488575925
x7=95.9691013757468x_{7} = 95.9691013757468
x8=60.6158047412707x_{8} = 60.6158047412707
x9=41.8414116510858x_{9} = 41.8414116510858
x10=45.45001464031x_{10} = 45.45001464031
x11=88.0566684492275x_{11} = 88.0566684492275
x12=97.9498855961256x_{12} = 97.9498855961256
x13=119.787357087122x_{13} = 119.787357087122
x14=105.881577922607x_{14} = 105.881577922607
x15=38.4046035504832x_{15} = 38.4046035504832
x16=84.1082038676741x_{16} = 84.1082038676741
x17=66.4428111345717x_{17} = 66.4428111345717
x18=40.0948446556097x_{18} = 40.0948446556097
x19=92.0105743292411x_{19} = 92.0105743292411
x20=109.851790527999x_{20} = 109.851790527999
x21=74.2682938598491x_{21} = 74.2682938598491
x22=52.9377975873454x_{22} = 52.9377975873454
x23=99.9315866885268x_{23} = 99.9315866885268
x24=113.824437607585x_{24} = 113.824437607585
x25=82.1363232109235x_{25} = 82.1363232109235
x26=47.2953636216014x_{26} = 47.2953636216014
x27=111.837828823653x_{27} = 111.837828823653
x28=78.1980294566398x_{28} = 78.1980294566398
x29=50.7891811400224x_{29} = 50.7891811400224
x30=1.00011980065604x_{30} = 1.00011980065604
x31=68.3941058337526x_{31} = 68.3941058337526
x32=115.811582576x_{32} = 115.811582576
x33=80.1662076833005x_{33} = 80.1662076833005
x34=93.9893048461644x_{34} = 93.9893048461644
x35=51.0425430626385x_{35} = 51.0425430626385
x36=70.3490384341384x_{36} = 70.3490384341384
x37=58.6846067336514x_{37} = 58.6846067336514
x38=64.4956162771777x_{38} = 64.4956162771777
x39=117.799232124447x_{39} = 117.799232124447
x40=62.5530655072635x_{40} = 62.5530655072635
x41=101.914140458126x_{41} = 101.914140458126
x42=56.7604042076047x_{42} = 56.7604042076047
x43=49.1607831270781x_{43} = 49.1607831270781
x44=107.866360018691x_{44} = 107.866360018691
x45=72.3072142242164x_{45} = 72.3072142242164
x46=76.2319839406924x_{46} = 76.2319839406924
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(-x)*(x - 1)^3.
(−1)3e−0\left(-1\right)^{3} e^{- 0}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(x−1)3e−x+3(x−1)2e−x=0- \left(x - 1\right)^{3} e^{- x} + 3 \left(x - 1\right)^{2} e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=4x_{2} = 4
Signos de extremos en los puntos:
(1, 0)

        -4 
(4, 27*e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=4x_{2} = 4
Decrece en los intervalos
(−∞,4]\left(-\infty, 4\right]
Crece en los intervalos
[4,∞)\left[4, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−1)(−6x+(x−1)2+12)e−x=0\left(x - 1\right) \left(- 6 x + \left(x - 1\right)^{2} + 12\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=4−3x_{2} = 4 - \sqrt{3}
x3=3+4x_{3} = \sqrt{3} + 4

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1,4−3]∪[3+4,∞)\left[1, 4 - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3} + 4, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1]∪[4−3,3+4]\left(-\infty, 1\right] \cup \left[4 - \sqrt{3}, \sqrt{3} + 4\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−1)3e−x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 1\right)^{3} e^{- x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−1)3e−x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 1\right)^{3} e^{- x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(-x)*(x - 1)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−1)3e−xx)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{3} e^{- x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x−1)3e−xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{3} e^{- x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−1)3e−x=(−x−1)3ex\left(x - 1\right)^{3} e^{- x} = \left(- x - 1\right)^{3} e^{x}
- No
(x−1)3e−x=−(−x−1)3ex\left(x - 1\right)^{3} e^{- x} = - \left(- x - 1\right)^{3} e^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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