Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp^(-10t)*(2*cos⁡(10*t)+2*sin⁡(10*t))

Gráfico de la función y = exp^(-10t)*(2*cos⁡(10*t)+2*sin⁡(10*t))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -10*t                            
f(t) = E     *(2*cos(10*t) + 2*sin(10*t))
f(t)=e−10t(2sin⁡(10t)+2cos⁡(10t))f{\left(t \right)} = e^{- 10 t} \left(2 \sin{\left(10 t \right)} + 2 \cos{\left(10 t \right)}\right) 
f = E^(-10*t)*(2*sin(10*t) + 2*cos(10*t))
Gráfico de la función
-0.5-0.4-0.3-0.2-0.11.00.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9-500500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−10t(2sin⁡(10t)+2cos⁡(10t))=0e^{- 10 t} \left(2 \sin{\left(10 t \right)} + 2 \cos{\left(10 t \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:

Solución analítica
t1=−π40t_{1} = - \frac{\pi}{40}
Solución numérica
t1=98.2533102410208t_{1} = 98.2533102410208
t2=28.1957940659684t_{2} = 28.1957940659684
t3=92.2842841992002t_{3} = 92.2842841992002
t4=84.4303025652257t_{4} = 84.4303025652257
t5=33.8727150747592t_{5} = 33.8727150747592
t6=14.3727863901733t_{6} = 14.3727863901733
t7=8.4037603483527t_{7} = 8.4037603483527
t8=66.2090651744049t_{8} = 66.2090651744049
t9=86.3152581573796t_{9} = 86.3152581573796
t10=74.3772060737383t_{10} = 74.3772060737383
t11=78.7754357887641t_{11} = 78.7754357887641
t12=26.3108384738145t_{12} = 26.3108384738145
t13=10.2887159405066t_{13} = 10.2887159405066
t14=96.3683546488669t_{14} = 96.3683546488669
t15=68.4081800319178t_{15} = 68.4081800319178
t16=60.2400391325843t_{16} = 60.2400391325843
t17=88.2002137495334t_{17} = 88.2002137495334
t18=50.1869426410969t_{18} = 50.1869426410969
t19=2.43473430653209t_{19} = 2.43473430653209
t20=52.3860574986098t_{20} = 52.3860574986098
t21=100.452425098534t_{21} = 100.452425098534
t22=−1.64933614313464t_{22} = -1.64933614313464
t23=80.346232115559t_{23} = 80.346232115559
t24=72.1780912162255t_{24} = 72.1780912162255
t25=94.1692397913541t_{25} = 94.1692397913541
t26=90.3993286070463t_{26} = 90.3993286070463
t27=36.3639349653019t_{27} = 36.3639349653019
t28=46.4170314567892t_{28} = 46.4170314567892
t29=44.2179165992763t_{29} = 44.2179165992763
t30=6.20464549083984t_{30} = 6.20464549083984
t31=18.771016105199t_{31} = 18.771016105199
t32=12.1736715326604t_{32} = 12.1736715326604
t33=54.2710130907637t_{33} = 54.2710130907637
t34=48.3019870489431t_{34} = 48.3019870489431
t35=24.4258828816606t_{35} = 24.4258828816606
t36=30.3949089234812t_{36} = 30.3949089234812
t37=40.4480054149686t_{37} = 40.4480054149686
t38=0.235619449019234t_{38} = 0.235619449019234
t39=64.324109582251t_{39} = 64.324109582251
t40=76.2621616658922t_{40} = 76.2621616658922
t41=22.2267680241478t_{41} = 22.2267680241478
t42=20.3418124319939t_{42} = 20.3418124319939
t43=38.2488905574557t_{43} = 38.2488905574557
t44=57.0984464789945t_{44} = 57.0984464789945
t45=4.31968989868597t_{45} = 4.31968989868597
t46=42.3329610071225t_{46} = 42.3329610071225
t47=62.4391539900971t_{47} = 62.4391539900971
t48=32.2798645156351t_{48} = 32.2798645156351
t49=70.2931356240716t_{49} = 70.2931356240716
t50=82.2311877077128t_{50} = 82.2311877077128
t51=16.2577419823272t_{51} = 16.2577419823272
t52=58.3550835404304t_{52} = 58.3550835404304
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en E^(-10*t)*(2*cos(10*t) + 2*sin(10*t)).
e−0(2sin⁡(0⋅10)+2cos⁡(0⋅10))e^{- 0} \left(2 \sin{\left(0 \cdot 10 \right)} + 2 \cos{\left(0 \cdot 10 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
(−20sin⁡(10t)+20cos⁡(10t))e−10t−10(2sin⁡(10t)+2cos⁡(10t))e−10t=0\left(- 20 \sin{\left(10 t \right)} + 20 \cos{\left(10 t \right)}\right) e^{- 10 t} - 10 \left(2 \sin{\left(10 t \right)} + 2 \cos{\left(10 t \right)}\right) e^{- 10 t} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=0t_{1} = 0
t2=π10t_{2} = \frac{\pi}{10}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)

 pi      -pi 
(--, -2*e   )
 10


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
t1=π10t_{1} = \frac{\pi}{10}
Puntos máximos de la función:
t1=0t_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π10,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{10}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π10]\left[0, \frac{\pi}{10}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
400(sin⁡(10t)−cos⁡(10t))e−10t=0400 \left(\sin{\left(10 t \right)} - \cos{\left(10 t \right)}\right) e^{- 10 t} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=π40t_{1} = \frac{\pi}{40}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π40,∞)\left[\frac{\pi}{40}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,π40]\left(-\infty, \frac{\pi}{40}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
lim⁡t→−∞(e−10t(2sin⁡(10t)+2cos⁡(10t)))=⟨−∞,∞⟩\lim_{t \to -\infty}\left(e^{- 10 t} \left(2 \sin{\left(10 t \right)} + 2 \cos{\left(10 t \right)}\right)\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡t→∞(e−10t(2sin⁡(10t)+2cos⁡(10t)))=0\lim_{t \to \infty}\left(e^{- 10 t} \left(2 \sin{\left(10 t \right)} + 2 \cos{\left(10 t \right)}\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(-10*t)*(2*cos(10*t) + 2*sin(10*t)), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
lim⁡t→−∞((2sin⁡(10t)+2cos⁡(10t))e−10tt)=⟨−∞,∞⟩\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\left(2 \sin{\left(10 t \right)} + 2 \cos{\left(10 t \right)}\right) e^{- 10 t}}{t}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩ty = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle t
lim⁡t→∞((2sin⁡(10t)+2cos⁡(10t))e−10tt)=0\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\left(2 \sin{\left(10 t \right)} + 2 \cos{\left(10 t \right)}\right) e^{- 10 t}}{t}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
e−10t(2sin⁡(10t)+2cos⁡(10t))=(−2sin⁡(10t)+2cos⁡(10t))e10te^{- 10 t} \left(2 \sin{\left(10 t \right)} + 2 \cos{\left(10 t \right)}\right) = \left(- 2 \sin{\left(10 t \right)} + 2 \cos{\left(10 t \right)}\right) e^{10 t}
- No
e−10t(2sin⁡(10t)+2cos⁡(10t))=−(−2sin⁡(10t)+2cos⁡(10t))e10te^{- 10 t} \left(2 \sin{\left(10 t \right)} + 2 \cos{\left(10 t \right)}\right) = - \left(- 2 \sin{\left(10 t \right)} + 2 \cos{\left(10 t \right)}\right) e^{10 t}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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