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Trazado el gráfico de la función/ x*arccos(x)

Gráfico de la función y = x*arccos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x*acos(x)
f(x)=xacos⁡(x)f{\left(x \right)} = x \operatorname{acos}{\left(x \right)} 
f = x*acos(x)
Gráfico de la función
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.05-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xacos⁡(x)=0x \operatorname{acos}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*acos(x).
0acos⁡(0)0 \operatorname{acos}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x1−x2+acos⁡(x)=0- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \operatorname{acos}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.652184623909187x_{1} = 0.652184623909187
Signos de extremos en los puntos:
(0.6521846239091867, 0.561096338191045)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0.652184623909187x_{1} = 0.652184623909187
Decrece en los intervalos
(−∞,0.652184623909187]\left(-\infty, 0.652184623909187\right]
Crece en los intervalos
[0.652184623909187,∞)\left[0.652184623909187, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x21−x2+21−x2=0- \frac{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 2}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xacos⁡(x))=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{acos}{\left(x \right)}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xacos⁡(x))=∞i\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{acos}{\left(x \right)}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*acos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞acos⁡(x)=−∞i\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(x \right)} = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞acos⁡(x)=∞i\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(x \right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xacos⁡(x)=−xacos⁡(−x)x \operatorname{acos}{\left(x \right)} = - x \operatorname{acos}{\left(- x \right)}
- No
xacos⁡(x)=xacos⁡(−x)x \operatorname{acos}{\left(x \right)} = x \operatorname{acos}{\left(- x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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