Sr Examen

Gráfico de la función y = arccos(x-3)/|x-3|

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       acos(x - 3)
f(x) = -----------
         |x - 3|  
$$f{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|}$$
f = acos(x - 3)/|x - 3|
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(x - 3)/|x - 3|.
$$\frac{\operatorname{acos}{\left(-3 \right)}}{\left|{-3}\right|}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(-3 \right)}}{3}$$
Punto:
(0, acos(-3)/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)} \operatorname{sign}{\left(x - 3 \right)}}{\left(x - 3\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 - \left(x - 3\right)^{2}} \left|{x - 3}\right|} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(x - 3)/|x - 3|, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{x \left|{x - 3}\right|}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{x \left|{x - 3}\right|}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|} = \frac{\operatorname{acos}{\left(- x - 3 \right)}}{\left|{x + 3}\right|}$$
- No
$$\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|} = - \frac{\operatorname{acos}{\left(- x - 3 \right)}}{\left|{x + 3}\right|}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar