Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arccos(x-3)/|x-3|

Gráfico de la función y = arccos(x-3)/|x-3|

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       acos(x - 3)
f(x) = -----------
         |x - 3|
f(x)=acos⁡(x−3)∣x−3∣f{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|} 
f = acos(x - 3)/|x - 3|
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(x−3)∣x−3∣=0\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=4x_{1} = 4
Solución numérica
x1=4x_{1} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(x - 3)/|x - 3|.
acos⁡(−3)∣−3∣\frac{\operatorname{acos}{\left(-3 \right)}}{\left|{-3}\right|}
Resultado:
f(0)=acos⁡(−3)3f{\left(0 \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(-3 \right)}}{3}
Punto:
(0, acos(-3)/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−acos⁡(x−3)sign⁡(x−3)(x−3)2−11−(x−3)2∣x−3∣=0- \frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)} \operatorname{sign}{\left(x - 3 \right)}}{\left(x - 3\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 - \left(x - 3\right)^{2}} \left|{x - 3}\right|} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3x_{1} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(x−3)∣x−3∣)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(acos⁡(x−3)∣x−3∣)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(x - 3)/|x - 3|, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(x−3)x∣x−3∣)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{x \left|{x - 3}\right|}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(x−3)x∣x−3∣)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{x \left|{x - 3}\right|}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(x−3)∣x−3∣=acos⁡(−x−3)∣x+3∣\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|} = \frac{\operatorname{acos}{\left(- x - 3 \right)}}{\left|{x + 3}\right|}
- No
acos⁡(x−3)∣x−3∣=−acos⁡(−x−3)∣x+3∣\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|} = - \frac{\operatorname{acos}{\left(- x - 3 \right)}}{\left|{x + 3}\right|}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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