Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^3-6*x^2+9

Gráfico de la función y = x^3-6*x^2+9

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2    
f(x) = x  - 6*x  + 9
f(x)=(x3−6x2)+9f{\left(x \right)} = \left(x^{3} - 6 x^{2}\right) + 9 
f = x^3 - 6*x^2 + 9
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x3−6x2)+9=0\left(x^{3} - 6 x^{2}\right) + 9 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2+472+323i23+72+323i23x_{1} = 2 + \frac{4}{\sqrt[3]{\frac{7}{2} + \frac{3 \sqrt{23} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{7}{2} + \frac{3 \sqrt{23} i}{2}}
Solución numérica
x1=−1.12398317950581x_{1} = -1.12398317950581
x2=1.39853444420471x_{2} = 1.39853444420471
x3=5.72544873530111x_{3} = 5.72544873530111
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 6*x^2 + 9.
(03−6⋅02)+9\left(0^{3} - 6 \cdot 0^{2}\right) + 9
Resultado:
f(0)=9f{\left(0 \right)} = 9
Punto:
(0, 9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−12x=03 x^{2} - 12 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=4x_{2} = 4
Signos de extremos en los puntos:
(0, 9)

(4, -23)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4x_{1} = 4
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[4,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[4, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,4]\left[0, 4\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x−2)=06 \left(x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x3−6x2)+9)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{3} - 6 x^{2}\right) + 9\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x3−6x2)+9)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{3} - 6 x^{2}\right) + 9\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 6*x^2 + 9, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x3−6x2)+9x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 6 x^{2}\right) + 9}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x3−6x2)+9x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 6 x^{2}\right) + 9}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x3−6x2)+9=−x3−6x2+9\left(x^{3} - 6 x^{2}\right) + 9 = - x^{3} - 6 x^{2} + 9
- No
(x3−6x2)+9=x3+6x2−9\left(x^{3} - 6 x^{2}\right) + 9 = x^{3} + 6 x^{2} - 9
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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