Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x-sqrt(1-x^2)

Gráfico de la función y = x-sqrt(1-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              ________
             /      2 
f(x) = x - \/  1 - x
f(x)=x−1−x2f{\left(x \right)} = x - \sqrt{1 - x^{2}} 
f = x - sqrt(1 - x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−1−x2=0x - \sqrt{1 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=22x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Solución numérica
x1=0.707106781186548x_{1} = 0.707106781186548
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x - sqrt(1 - x^2).
−1−02- \sqrt{1 - 0^{2}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x1−x2+1=0\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−22x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
    ___          
 -\/ 2       ___ 
(-------, -\/ 2 )
    2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−22x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−22,∞)\left[- \frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−22]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x21−x2+11−x2=0\frac{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−1−x2)=−∞sign⁡(1+i)\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sqrt{1 - x^{2}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−∞sign⁡(1+i)y = - \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}
lim⁡x→∞(x−1−x2)=−∞sign⁡(−1+i)\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{1 - x^{2}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−∞sign⁡(−1+i)y = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x - sqrt(1 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−1−x2x)=1+i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \sqrt{1 - x^{2}}}{x}\right) = 1 + i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=x(1+i)y = x \left(1 + i\right)
lim⁡x→∞(x−1−x2x)=1−i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \sqrt{1 - x^{2}}}{x}\right) = 1 - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x(1−i)y = x \left(1 - i\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−1−x2=−x−1−x2x - \sqrt{1 - x^{2}} = - x - \sqrt{1 - x^{2}}
- No
x−1−x2=x+1−x2x - \sqrt{1 - x^{2}} = x + \sqrt{1 - x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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