Sr Examen

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(1+x)^(1/x)
Trazado el gráfico de la función/ (1+x)^(1/x)

Gráfico de la función y = (1+x)^(1/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x _______
f(x) = \/ 1 + x
f(x)=(x+1)1xf{\left(x \right)} = \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} 
f = (x + 1)^(1/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+1)1x=0\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 + x)^(1/x).
1101^{\frac{1}{0}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x+1)1x(1x(x+1)−log⁡(x+1)x2)=0\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(\frac{1}{x \left(x + 1\right)} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x+1)1x(−1(x+1)2+(1x+1−log⁡(x+1)x)2x−2x(x+1)+2log⁡(x+1)x2)x=0\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{\left(\frac{1}{x + 1} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right)^{2}}{x} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=43389.6836739697x_{1} = 43389.6836739697
x2=35591.3063506813x_{2} = 35591.3063506813
x3=57739.3679767074x_{3} = 57739.3679767074
x4=26593.8992266672x_{4} = 26593.8992266672
x5=37825.5858265746x_{5} = 37825.5858265746
x6=52237.7926464356x_{6} = 52237.7926464356
x7=46714.933356596x_{7} = 46714.933356596
x8=51135.0160556731x_{8} = 51135.0160556731
x9=32229.39409249x_{9} = 32229.39409249
x10=54440.8206019301x_{10} = 54440.8206019301
x11=48926.8209166782x_{11} = 48926.8209166782
x12=31105.7195519117x_{12} = 31105.7195519117
x13=27724.5899421305x_{13} = 27724.5899421305
x14=25461.2257552751x_{14} = 25461.2257552751
x15=41167.5317686861x_{15} = 41167.5317686861
x16=44499.1301965023x_{16} = 44499.1301965023
x17=24326.4600582814x_{17} = 24326.4600582814
x18=53339.7200843891x_{18} = 53339.7200843891
x19=33351.507260858x_{19} = 33351.507260858
x20=29980.4129184309x_{20} = 29980.4129184309
x21=40054.7526229321x_{21} = 40054.7526229321
x22=45607.5361227612x_{22} = 45607.5361227612
x23=56640.6247473501x_{23} = 56640.6247473501
x24=38940.7849760761x_{24} = 38940.7849760761
x25=36709.1092974302x_{25} = 36709.1092974302
x26=55541.1154065021x_{26} = 55541.1154065021
x27=28853.3975120921x_{27} = 28853.3975120921
x28=50031.3669817923x_{28} = 50031.3669817923
x29=34472.1244637095x_{29} = 34472.1244637095
x30=42279.1627921657x_{30} = 42279.1627921657
x31=47821.3520867522x_{31} = 47821.3520867522
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−((x+1)1x(−1(x+1)2+(1x+1−log⁡(x+1)x)2x−2x(x+1)+2log⁡(x+1)x2)x)=11e12\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{\left(\frac{1}{x + 1} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right)^{2}}{x} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \frac{11 e}{12}
lim⁡x→0+((x+1)1x(−1(x+1)2+(1x+1−log⁡(x+1)x)2x−2x(x+1)+2log⁡(x+1)x2)x)=11e12\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{\left(\frac{1}{x + 1} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right)^{2}}{x} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \frac{11 e}{12}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+1)1x=1\lim_{x \to -\infty} \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x+1)1x=1\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 + x)^(1/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)1xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x+1)1xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+1)1x=(1−x)−1x\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = \left(1 - x\right)^{- \frac{1}{x}}
- No
(x+1)1x=−(1−x)−1x\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = - \left(1 - x\right)^{- \frac{1}{x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (1+x)^(1/x)
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