Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(1+x^2)
-
y^2+1
-
x/(x-1)
-
x/(x^2-1)
- Límite de la función:
-
(1+x)^(1/x)
- Derivada de:
-
(1+x)^(1/x)
- Forma canónica:
- (1+x)^(1/x)
-
Expresiones idénticas
- (uno +x)^(uno /x)
- (1 más x) en el grado (1 dividir por x)
- (uno más x) en el grado (uno dividir por x)
- (1+x)(1/x)
- 1+x1/x
- 1+x^1/x
- (1+x)^(1 dividir por x)
-
Expresiones semejantes
- (1-x)^(1/x)
Gráfico de la función y = (1+x)^(1/x)
Solución
Ha introducido
[src]
x _______ f(x) = \/ 1 + x
$$f{\left(x \right)} = \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$
f = (x + 1)^(1/x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(\frac{1}{x \left(x + 1\right)} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(\frac{1}{x \left(x + 1\right)} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{\left(\frac{1}{x + 1} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right)^{2}}{x} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 43389.6836739697$$
$$x_{2} = 35591.3063506813$$
$$x_{3} = 57739.3679767074$$
$$x_{4} = 26593.8992266672$$
$$x_{5} = 37825.5858265746$$
$$x_{6} = 52237.7926464356$$
$$x_{7} = 46714.933356596$$
$$x_{8} = 51135.0160556731$$
$$x_{9} = 32229.39409249$$
$$x_{10} = 54440.8206019301$$
$$x_{11} = 48926.8209166782$$
$$x_{12} = 31105.7195519117$$
$$x_{13} = 27724.5899421305$$
$$x_{14} = 25461.2257552751$$
$$x_{15} = 41167.5317686861$$
$$x_{16} = 44499.1301965023$$
$$x_{17} = 24326.4600582814$$
$$x_{18} = 53339.7200843891$$
$$x_{19} = 33351.507260858$$
$$x_{20} = 29980.4129184309$$
$$x_{21} = 40054.7526229321$$
$$x_{22} = 45607.5361227612$$
$$x_{23} = 56640.6247473501$$
$$x_{24} = 38940.7849760761$$
$$x_{25} = 36709.1092974302$$
$$x_{26} = 55541.1154065021$$
$$x_{27} = 28853.3975120921$$
$$x_{28} = 50031.3669817923$$
$$x_{29} = 34472.1244637095$$
$$x_{30} = 42279.1627921657$$
$$x_{31} = 47821.3520867522$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{\left(\frac{1}{x + 1} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right)^{2}}{x} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \frac{11 e}{12}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{\left(\frac{1}{x + 1} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right)^{2}}{x} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \frac{11 e}{12}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{\left(\frac{1}{x + 1} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right)^{2}}{x} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 43389.6836739697$$
$$x_{2} = 35591.3063506813$$
$$x_{3} = 57739.3679767074$$
$$x_{4} = 26593.8992266672$$
$$x_{5} = 37825.5858265746$$
$$x_{6} = 52237.7926464356$$
$$x_{7} = 46714.933356596$$
$$x_{8} = 51135.0160556731$$
$$x_{9} = 32229.39409249$$
$$x_{10} = 54440.8206019301$$
$$x_{11} = 48926.8209166782$$
$$x_{12} = 31105.7195519117$$
$$x_{13} = 27724.5899421305$$
$$x_{14} = 25461.2257552751$$
$$x_{15} = 41167.5317686861$$
$$x_{16} = 44499.1301965023$$
$$x_{17} = 24326.4600582814$$
$$x_{18} = 53339.7200843891$$
$$x_{19} = 33351.507260858$$
$$x_{20} = 29980.4129184309$$
$$x_{21} = 40054.7526229321$$
$$x_{22} = 45607.5361227612$$
$$x_{23} = 56640.6247473501$$
$$x_{24} = 38940.7849760761$$
$$x_{25} = 36709.1092974302$$
$$x_{26} = 55541.1154065021$$
$$x_{27} = 28853.3975120921$$
$$x_{28} = 50031.3669817923$$
$$x_{29} = 34472.1244637095$$
$$x_{30} = 42279.1627921657$$
$$x_{31} = 47821.3520867522$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{\left(\frac{1}{x + 1} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right)^{2}}{x} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \frac{11 e}{12}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{\left(\frac{1}{x + 1} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right)^{2}}{x} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \frac{11 e}{12}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 + x)^(1/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = \left(1 - x\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- No
$$\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = - \left(1 - x\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = \left(1 - x\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- No
$$\left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} = - \left(1 - x\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico