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Trazado el gráfico de la función/ 4^(arctg(sqrt(x^2+1)))

Gráfico de la función y = 4^(arctg(sqrt(x^2+1)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /   ________\
            |  /  2     |
        atan\\/  x  + 1 /
f(x) = 4
f(x)=4atan⁡(x2+1)f{\left(x \right)} = 4^{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}} 
f = 4^atan(sqrt(x^2 + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4atan⁡(x2+1)=04^{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4^atan(sqrt(x^2 + 1)).
4atan⁡(02+1)4^{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{0^{2} + 1} \right)}}
Resultado:
f(0)=4π4f{\left(0 \right)} = 4^{\frac{\pi}{4}}
Punto:
(0, 4^(pi/4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4atan⁡(x2+1)xlog⁡(4)x2+1(x2+2)=0\frac{4^{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}} x \log{\left(4 \right)}}{\sqrt{x^{2} + 1} \left(x^{2} + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
     pi 
     -- 
     4  
(0, 4  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4atan⁡(x2+1)(x2log⁡(4)(x2+1)(x2+2)−2x2x2+1(x2+2)−x2(x2+1)32+1x2+1)log⁡(4)x2+2=0\frac{4^{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}} \left(\frac{x^{2} \log{\left(4 \right)}}{\left(x^{2} + 1\right) \left(x^{2} + 2\right)} - \frac{2 x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} \left(x^{2} + 2\right)} - \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) \log{\left(4 \right)}}{x^{2} + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞4atan⁡(x2+1)=2π\lim_{x \to -\infty} 4^{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}} = 2^{\pi}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=2πy = 2^{\pi}
lim⁡x→∞4atan⁡(x2+1)=2π\lim_{x \to \infty} 4^{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}} = 2^{\pi}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=2πy = 2^{\pi}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4^atan(sqrt(x^2 + 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4atan⁡(x2+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4^{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(4atan⁡(x2+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4atan⁡(x2+1)=4atan⁡(x2+1)4^{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}} = 4^{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}}
- Sí
4atan⁡(x2+1)=−4atan⁡(x2+1)4^{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}} = - 4^{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}}
- No
es decir, función
es
par
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