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y(x)=(x^2-5x+4)/(x+2)
Trazado el gráfico de la función/ y(x)=(x^2-5x+4)/(x+2)

Gráfico de la función y = y(x)=(x^2-5x+4)/(x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2          
       x  - 5*x + 4
f(x) = ------------
          x + 2
f(x)=(x2−5x)+4x+2f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 5 x\right) + 4}{x + 2} 
f = (x^2 - 5*x + 4)/(x + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−5x)+4x+2=0\frac{\left(x^{2} - 5 x\right) + 4}{x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=4x_{2} = 4
Solución numérica
x1=4x_{1} = 4
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 5*x + 4)/(x + 2).
(02−0)+42\frac{\left(0^{2} - 0\right) + 4}{2}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−5x+2−(x2−5x)+4(x+2)2=0\frac{2 x - 5}{x + 2} - \frac{\left(x^{2} - 5 x\right) + 4}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2+32x_{1} = -2 + 3 \sqrt{2}
x2=−32−2x_{2} = - 3 \sqrt{2} - 2
Signos de extremos en los puntos:
                     /                   2           \ 
                 ___ |     /         ___\         ___| 
          ___  \/ 2 *\14 + \-2 + 3*\/ 2 /  - 15*\/ 2 / 
(-2 + 3*\/ 2, ---------------------------------------)
                                  6                    

                      /                   2           \  
                  ___ |     /         ___\         ___|  
          ___  -\/ 2 *\14 + \-2 - 3*\/ 2 /  + 15*\/ 2 /  
(-2 - 3*\/ 2, -----------------------------------------)
                                   6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2+32x_{1} = -2 + 3 \sqrt{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−32−2x_{1} = - 3 \sqrt{2} - 2
Decrece en los intervalos
(−∞,−32−2]∪[−2+32,∞)\left(-\infty, - 3 \sqrt{2} - 2\right] \cup \left[-2 + 3 \sqrt{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−32−2,−2+32]\left[- 3 \sqrt{2} - 2, -2 + 3 \sqrt{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−2x−5x+2+x2−5x+4(x+2)2)x+2=0\frac{2 \left(1 - \frac{2 x - 5}{x + 2} + \frac{x^{2} - 5 x + 4}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−5x)+4x+2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 5 x\right) + 4}{x + 2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−5x)+4x+2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 5 x\right) + 4}{x + 2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 5*x + 4)/(x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−5x)+4x(x+2))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 5 x\right) + 4}{x \left(x + 2\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((x2−5x)+4x(x+2))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 5 x\right) + 4}{x \left(x + 2\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−5x)+4x+2=x2+5x+42−x\frac{\left(x^{2} - 5 x\right) + 4}{x + 2} = \frac{x^{2} + 5 x + 4}{2 - x}
- No
(x2−5x)+4x+2=−x2+5x+42−x\frac{\left(x^{2} - 5 x\right) + 4}{x + 2} = - \frac{x^{2} + 5 x + 4}{2 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y(x)=(x^2-5x+4)/(x+2)
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