Sr Examen

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ln((x-1)/(x-2))
Trazado el gráfico de la función/ ln((x-1)/(x-2))

Gráfico de la función y = ln((x-1)/(x-2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x - 1\
f(x) = log|-----|
          \x - 2/
f(x)=log⁡(x−1x−2)f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x - 1}{x - 2} \right)} 
f = log((x - 1)/(x - 2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x−1x−2)=0\log{\left(\frac{x - 1}{x - 2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((x - 1)/(x - 2)).
log⁡(−1−2)\log{\left(- \frac{1}{-2} \right)}
Resultado:
f(0)=−log⁡(2)f{\left(0 \right)} = - \log{\left(2 \right)}
Punto:
(0, -log(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x−2)(1x−2−x−1(x−2)2)x−1=0\frac{\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{x - 1}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1−x−1x−2)(−1x−1−1x−2)x−1=0\frac{\left(1 - \frac{x - 1}{x - 2}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=2x_{1} = 2

lim⁡x→2−((1−x−1x−2)(−1x−1−1x−2)x−1)=∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\left(1 - \frac{x - 1}{x - 2}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2}\right)}{x - 1}\right) = \infty
lim⁡x→2+((1−x−1x−2)(−1x−1−1x−2)x−1)=∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(1 - \frac{x - 1}{x - 2}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2}\right)}{x - 1}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[32,∞)\left[\frac{3}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,32]\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(x−1x−2)=0\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{x - 1}{x - 2} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞log⁡(x−1x−2)=0\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{x - 1}{x - 2} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((x - 1)/(x - 2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x−1x−2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x - 1}{x - 2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x−1x−2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x - 1}{x - 2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x−1x−2)=log⁡(−x−1−x−2)\log{\left(\frac{x - 1}{x - 2} \right)} = \log{\left(\frac{- x - 1}{- x - 2} \right)}
- No
log⁡(x−1x−2)=−log⁡(−x−1−x−2)\log{\left(\frac{x - 1}{x - 2} \right)} = - \log{\left(\frac{- x - 1}{- x - 2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ln((x-1)/(x-2))
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