Sr Examen

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tan(x)^(3)
Trazado el gráfico de la función/ tan(x)^(3)

Gráfico de la función y = tan(x)^(3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3   
f(x) = tan (x)
f(x)=tan⁡3(x)f{\left(x \right)} = \tan^{3}{\left(x \right)} 
f = tan(x)^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10000001000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
tan⁡3(x)=0\tan^{3}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−97.3894646284313x_{1} = -97.3894646284313
x2=−37.699125015227x_{2} = -37.699125015227
x3=28.2743275301013x_{3} = 28.2743275301013
x4=21.9911516425495x_{4} = 21.9911516425495
x5=81.6815030255516x_{5} = 81.6815030255516
x6=15.7080494245905x_{6} = 15.7080494245905
x7=−15.707974182009x_{7} = -15.707974182009
x8=65.9734548322688x_{8} = 65.9734548322688
x9=59.6903518006018x_{9} = 59.6903518006018
x10=56.5485924785507x_{10} = 56.5485924785507
x11=−43.9823032378883x_{11} = -43.9823032378883
x12=6.28317666652034x_{12} = 6.28317666652034
x13=34.5574415348642x_{13} = 34.5574415348642
x14=12.5662905691987x_{14} = 12.5662905691987
x15=87.9646063544391x_{15} = 87.9646063544391
x16=−6.28310172957703x_{16} = -6.28310172957703
x17=72.2566292956156x_{17} = 72.2566292956156
x18=−50.2654039781219x_{18} = -50.2654039781219
x19=−28.2742528632815x_{19} = -28.2742528632815
x20=78.5397434013719x_{20} = 78.5397434013719
x21=−21.9911516412507x_{21} = -21.9911516412507
x22=0x_{22} = 0
x23=−31.4160114325626x_{23} = -31.4160114325626
x24=50.2654784074239x_{24} = 50.2654784074239
x25=37.6992006007972x_{25} = 37.6992006007972
x26=−87.9646060160353x_{26} = -87.9646060160353
x27=−72.2565550757263x_{27} = -72.2565550757263
x28=43.9823032587663x_{28} = 43.9823032587663
x29=100.530894304436x_{29} = 100.530894304436
x30=−9.42486041956663x_{30} = -9.42486041956663
x31=−59.6902758335749x_{31} = -59.6902758335749
x32=94.2477801894873x_{32} = 94.2477801894873
x33=−65.9734547258841x_{33} = -65.9734547258841
x34=−81.6814266379545x_{34} = -81.6814266379545
x35=−94.2477061577588x_{35} = -94.2477061577588
x36=−75.3983135358304x_{36} = -75.3983135358304
x37=−53.4071624709317x_{37} = -53.4071624709317
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(x)^3.
tan⁡3(0)\tan^{3}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(3tan⁡2(x)+3)tan⁡2(x)=0\left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \tan^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(tan⁡2(x)+1)(2tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)=06 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞tan⁡3(x)y = \lim_{x \to -\infty} \tan^{3}{\left(x \right)}
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞tan⁡3(x)y = \lim_{x \to \infty} \tan^{3}{\left(x \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(tan⁡3(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(tan⁡3(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
tan⁡3(x)=−tan⁡3(x)\tan^{3}{\left(x \right)} = - \tan^{3}{\left(x \right)}
- No
tan⁡3(x)=tan⁡3(x)\tan^{3}{\left(x \right)} = \tan^{3}{\left(x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = tan(x)^(3)
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