Sr Examen

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x^4-x^2+1
Trazado el gráfico de la función/ x^4-x^2+1

Gráfico de la función y = x^4-x^2+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        4    2    
f(x) = x  - x  + 1
f(x)=(x4−x2)+1f{\left(x \right)} = \left(x^{4} - x^{2}\right) + 1 
f = x^4 - x^2 + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x4−x2)+1=0\left(x^{4} - x^{2}\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 - x^2 + 1.
(04−02)+1\left(0^{4} - 0^{2}\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3−2x=04 x^{3} - 2 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−22x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
x3=22x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

    ___       
 -\/ 2        
(-------, 3/4)
    2         

   ___      
 \/ 2       
(-----, 3/4)
   2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−22x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
x2=22x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−22,0]∪[22,∞)\left[- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−22]∪[0,22]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(6x2−1)=02 \left(6 x^{2} - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−66x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{6}
x2=66x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−66]∪[66,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−66,66]\left[- \frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{6}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x4−x2)+1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} - x^{2}\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−x2)+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} - x^{2}\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - x^2 + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x4−x2)+1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - x^{2}\right) + 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−x2)+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - x^{2}\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x4−x2)+1=(x4−x2)+1\left(x^{4} - x^{2}\right) + 1 = \left(x^{4} - x^{2}\right) + 1
- Sí
(x4−x2)+1=(−x4+x2)−1\left(x^{4} - x^{2}\right) + 1 = \left(- x^{4} + x^{2}\right) - 1
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = x^4-x^2+1
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