Sr Examen

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1/(sin(x)+cos(x))
Trazado el gráfico de la función/ 1/(sin(x)+cos(x))

Gráfico de la función y = 1/(sin(x)+cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              1       
f(x) = ---------------
       sin(x) + cos(x)
f(x)=1sin⁡(x)+cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} 
f = 1/(sin(x) + cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−0.785398163397448x_{1} = -0.785398163397448
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1sin⁡(x)+cos⁡(x)=0\frac{1}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(sin(x) + cos(x)).
1sin⁡(0)+cos⁡(0)\frac{1}{\sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)−cos⁡(x)(sin⁡(x)+cos⁡(x))2=0\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
       ___ 
 pi  \/ 2  
(--, -----)
 4     2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,π4]\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(sin⁡(x)−cos⁡(x))2(sin⁡(x)+cos⁡(x))2+1sin⁡(x)+cos⁡(x)=0\frac{\frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} + 1}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−0.785398163397448x_{1} = -0.785398163397448
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1sin⁡(x)+cos⁡(x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞1sin⁡(x)+cos⁡(x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(sin(x) + cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(1x(sin⁡(x)+cos⁡(x)))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(1x(sin⁡(x)+cos⁡(x)))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1sin⁡(x)+cos⁡(x)=1−sin⁡(x)+cos⁡(x)\frac{1}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} = \frac{1}{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}
- No
1sin⁡(x)+cos⁡(x)=−1−sin⁡(x)+cos⁡(x)\frac{1}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} = - \frac{1}{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 1/(sin(x)+cos(x))
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