Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -1/x-8*exp(x/2)+2*x*exp(x/2)+16*exp(x/2)/x

Gráfico de la función y = -1/x-8*exp(x/2)+2*x*exp(x/2)+16*exp(x/2)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                 x
                x        x       -
                -        -       2
         1      2        2   16*e 
f(x) = - - - 8*e  + 2*x*e  + -----
         x                     x
f(x)=(2xex2+(−8ex2−1x))+16ex2xf{\left(x \right)} = \left(2 x e^{\frac{x}{2}} + \left(- 8 e^{\frac{x}{2}} - \frac{1}{x}\right)\right) + \frac{16 e^{\frac{x}{2}}}{x} 
f = (2*x)*exp(x/2) - 8*exp(x/2) - 1/x + (16*exp(x/2))/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2xex2+(−8ex2−1x))+16ex2x=0\left(2 x e^{\frac{x}{2}} + \left(- 8 e^{\frac{x}{2}} - \frac{1}{x}\right)\right) + \frac{16 e^{\frac{x}{2}}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−11.9762829006582x_{1} = -11.9762829006582
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -1/x - 8*exp(x/2) + (2*x)*exp(x/2) + (16*exp(x/2))/x.
((−8e02−10)+0⋅2e02)+16e020\left(\left(- 8 e^{\frac{0}{2}} - \frac{1}{0}\right) + 0 \cdot 2 e^{\frac{0}{2}}\right) + \frac{16 e^{\frac{0}{2}}}{0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xex2−2ex2+8ex2x−16ex2x2+1x2=0x e^{\frac{x}{2}} - 2 e^{\frac{x}{2}} + \frac{8 e^{\frac{x}{2}}}{x} - \frac{16 e^{\frac{x}{2}}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.9685296469663x_{1} = 1.9685296469663
x2=−17.4127597175568x_{2} = -17.4127597175568
x3=1.96852964696629x_{3} = 1.96852964696629
Signos de extremos en los puntos:
(1.9685296469662994, 10.3691868703658)

(-17.412759717556806, 0.0501882998771048)

(1.968529646966289, 10.3691868703658)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1.9685296469663x_{1} = 1.9685296469663
x2=1.96852964696629x_{2} = 1.96852964696629
Puntos máximos de la función:
x2=−17.4127597175568x_{2} = -17.4127597175568
Decrece en los intervalos
[1.9685296469663,∞)\left[1.9685296469663, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−17.4127597175568,1.96852964696629]\left[-17.4127597175568, 1.96852964696629\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
xex22+4ex2x−16ex2x2+32ex2x3−2x3=0\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{4 e^{\frac{x}{2}}}{x} - \frac{16 e^{\frac{x}{2}}}{x^{2}} + \frac{32 e^{\frac{x}{2}}}{x^{3}} - \frac{2}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−14571.5335157336x_{1} = -14571.5335157336
x2=−33838.6052083146x_{2} = -33838.6052083146
x3=−14519.4365182389x_{3} = -14519.4365182389
x4=−20278.5461118732x_{4} = -20278.5461118732
x5=−19432.6801860196x_{5} = -19432.6801860196
x6=−24515.0117690821x_{6} = -24515.0117690821
x7=−16915.2745635633x_{7} = -16915.2745635633
x8=−40619.4303623666x_{8} = -40619.4303623666
x9=−21125.3140317368x_{9} = -21125.3140317368
x10=−23667.4500101926x_{10} = -23667.4500101926
x11=−21.9921556658256x_{11} = -21.9921556658256
x12=−35533.8111822361x_{12} = -35533.8111822361
x13=−38924.2237877269x_{13} = -38924.2237877269
x14=−22819.9350324349x_{14} = -22819.9350324349
x15=−39771.8270548237x_{15} = -39771.8270548237
x16=−13954.8771243846x_{16} = -13954.8771243846
x17=−13630.3390814336x_{17} = -13630.3390814336
x18=−28752.9896241928x_{18} = -28752.9896241928
x19=−42314.6370890549x_{19} = -42314.6370890549
x20=−31295.7967942161x_{20} = -31295.7967942161
x21=−32143.3995115255x_{21} = -32143.3995115255
x22=−17748.306074508x_{22} = -17748.306074508
x23=−34686.2081641552x_{23} = -34686.2081641552
x24=−27905.3880015843x_{24} = -27905.3880015843
x25=−26210.1890375348x_{25} = -26210.1890375348
x26=−21972.5196047979x_{26} = -21972.5196047979
x27=−25362.5953429033x_{27} = -25362.5953429033
x28=−41467.0337078714x_{28} = -41467.0337078714
x29=−18588.6498056774x_{29} = -18588.6498056774
x30=−30448.1941956905x_{30} = -30448.1941956905
x31=−32991.0023210881x_{31} = -32991.0023210881
x32=−27057.7874241455x_{32} = -27057.7874241455
x33=−15306.075568859x_{33} = -15306.075568859
x34=−16096.6048010527x_{34} = -16096.6048010527
x35=−29600.5917687255x_{35} = -29600.5917687255
x36=−36381.4142575715x_{36} = -36381.4142575715
x37=−37229.0173859761x_{37} = -37229.0173859761
x38=−38076.6205637874x_{38} = -38076.6205637874
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(xex22+4ex2x−16ex2x2+32ex2x3−2x3)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{4 e^{\frac{x}{2}}}{x} - \frac{16 e^{\frac{x}{2}}}{x^{2}} + \frac{32 e^{\frac{x}{2}}}{x^{3}} - \frac{2}{x^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(xex22+4ex2x−16ex2x2+32ex2x3−2x3)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{4 e^{\frac{x}{2}}}{x} - \frac{16 e^{\frac{x}{2}}}{x^{2}} + \frac{32 e^{\frac{x}{2}}}{x^{3}} - \frac{2}{x^{3}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−21.9921556658256]\left(-\infty, -21.9921556658256\right]
Convexa en los intervalos
[−21.9921556658256,∞)\left[-21.9921556658256, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((2xex2+(−8ex2−1x))+16ex2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 x e^{\frac{x}{2}} + \left(- 8 e^{\frac{x}{2}} - \frac{1}{x}\right)\right) + \frac{16 e^{\frac{x}{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞((2xex2+(−8ex2−1x))+16ex2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 x e^{\frac{x}{2}} + \left(- 8 e^{\frac{x}{2}} - \frac{1}{x}\right)\right) + \frac{16 e^{\frac{x}{2}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -1/x - 8*exp(x/2) + (2*x)*exp(x/2) + (16*exp(x/2))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2xex2+(−8ex2−1x))+16ex2xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x e^{\frac{x}{2}} + \left(- 8 e^{\frac{x}{2}} - \frac{1}{x}\right)\right) + \frac{16 e^{\frac{x}{2}}}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((2xex2+(−8ex2−1x))+16ex2xx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x e^{\frac{x}{2}} + \left(- 8 e^{\frac{x}{2}} - \frac{1}{x}\right)\right) + \frac{16 e^{\frac{x}{2}}}{x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2xex2+(−8ex2−1x))+16ex2x=−2xe−x2−8e−x2+1x−16e−x2x\left(2 x e^{\frac{x}{2}} + \left(- 8 e^{\frac{x}{2}} - \frac{1}{x}\right)\right) + \frac{16 e^{\frac{x}{2}}}{x} = - 2 x e^{- \frac{x}{2}} - 8 e^{- \frac{x}{2}} + \frac{1}{x} - \frac{16 e^{- \frac{x}{2}}}{x}
- No
(2xex2+(−8ex2−1x))+16ex2x=2xe−x2+8e−x2−1x+16e−x2x\left(2 x e^{\frac{x}{2}} + \left(- 8 e^{\frac{x}{2}} - \frac{1}{x}\right)\right) + \frac{16 e^{\frac{x}{2}}}{x} = 2 x e^{- \frac{x}{2}} + 8 e^{- \frac{x}{2}} - \frac{1}{x} + \frac{16 e^{- \frac{x}{2}}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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