Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ tg(x/2)*e^(5*x)

Gráfico de la función y = tg(x/2)*e^(5*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x\  5*x
f(x) = tan|-|*E   
          \2/
f(x)=e5xtan⁡(x2)f{\left(x \right)} = e^{5 x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} 
f = E^(5*x)*tan(x/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5e225e22
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e5xtan⁡(x2)=0e^{5 x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−50.2654824574367x_{1} = -50.2654824574367
x2=−98.460730813543x_{2} = -98.460730813543
x3=−5.4362950111708x_{3} = -5.4362950111708
x4=−30.4849680683665x_{4} = -30.4849680683665
x5=−68.0262381133571x_{5} = -68.0262381133571
x6=−74.5596738084551x_{6} = -74.5596738084551
x7=−49.701811975762x_{7} = -49.701811975762
x8=−12.4028307382911x_{8} = -12.4028307382911
x9=−6.28318530717959x_{9} = -6.28318530717959
x10=−18.8495559215388x_{10} = -18.8495559215388
x11=−75.398223686155x_{11} = -75.398223686155
x12=−24.2023818387779x_{12} = -24.2023818387779
x13=−81.6777280520219x_{13} = -81.6777280520219
x14=−37.6379235107147x_{14} = -37.6379235107147
x15=−18.8313350320164x_{15} = -18.8313350320164
x16=−43.9822971502571x_{16} = -43.9822971502571
x17=−79.9397579791006x_{17} = -79.9397579791006
x18=−36.0155442891587x_{18} = -36.0155442891587
x19=−69.1150383789755x_{19} = -69.1150383789755
x20=−37.6991118430775x_{20} = -37.6991118430775
x21=−18.0384079571261x_{21} = -18.0384079571261
x22=−100.530964914873x_{22} = -100.530964914873
x23=0x_{23} = 0
x24=−12.5663706143592x_{24} = -12.5663706143592
x25=−100.530964909761x_{25} = -100.530964909761
x26=−94.2477796076938x_{26} = -94.2477796076938
x27=−56.5486677412066x_{27} = -56.5486677412066
x28=−31.4159265358979x_{28} = -31.4159265358979
x29=−81.6814089933346x_{29} = -81.6814089933346
x30=−31.4159263750849x_{30} = -31.4159263750849
x31=−62.8195596505899x_{31} = -62.8195596505899
x32=−56.5486677646163x_{32} = -56.5486677646163
x33=−61.4930794464157x_{33} = -61.4930794464157
x34=−62.8318530717959x_{34} = -62.8318530717959
x35=−87.9645943005142x_{35} = -87.9645943005142
x36=−87.6337571730484x_{36} = -87.6337571730484
x37=−68.4027349357875x_{37} = -68.4027349357875
x38=−25.1327412287183x_{38} = -25.1327412287183
x39=6.28318530717959x_{39} = 6.28318530717959
x40=−74.427342964243x_{40} = -74.427342964243
x41=−93.8772653057058x_{41} = -93.8772653057058
x42=−12.5663705188832x_{42} = -12.5663705188832
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(x/2)*E^(5*x).
e0⋅5tan⁡(02)e^{0 \cdot 5} \tan{\left(\frac{0}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(tan⁡2(x2)2+12)e5x+5e5xtan⁡(x2)=0\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) e^{5 x} + 5 e^{5 x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(5−26)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(5 - 2 \sqrt{6} \right)}
x2=−2atan⁡(26+5)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 \right)}
Signos de extremos en los puntos:
                                               /        ___\ 
        /        ___\  /         ___\  -10*atan\5 - 2*\/ 6 / 
(-2*atan\5 - 2*\/ 6 /, \-5 + 2*\/ 6 /*e                     )

                                               /        ___\ 
        /        ___\  /         ___\  -10*atan\5 + 2*\/ 6 / 
(-2*atan\5 + 2*\/ 6 /, \-5 - 2*\/ 6 /*e                     )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2atan⁡(5−26)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(5 - 2 \sqrt{6} \right)}
Puntos máximos de la función:
x1=−2atan⁡(26+5)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(26+5)]∪[−2atan⁡(5−26),∞)\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(5 - 2 \sqrt{6} \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−2atan⁡(26+5),−2atan⁡(5−26)]\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(5 - 2 \sqrt{6} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
((tan⁡2(x2)+1)tan⁡(x2)2+5tan⁡2(x2)+25tan⁡(x2)+5)e5x=0\left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + 5 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 25 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} + 5\right) e^{5 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e5xtan⁡(x2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{5 x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(e5xtan⁡(x2))y = \lim_{x \to \infty}\left(e^{5 x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x/2)*E^(5*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e5xtan⁡(x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{5 x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(e5xtan⁡(x2)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{5 x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e5xtan⁡(x2)=−e−5xtan⁡(x2)e^{5 x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = - e^{- 5 x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
e5xtan⁡(x2)=e−5xtan⁡(x2)e^{5 x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = e^{- 5 x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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