Sr Examen

Otras calculadoras

x/((x^3)-1)
Trazado el gráfico de la función/ x/((x^3)-1)

Gráfico de la función y = x/((x^3)-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         x   
f(x) = ------
        3    
       x  - 1
f(x)=xx3−1f{\left(x \right)} = \frac{x}{x^{3} - 1} 
f = x/(x^3 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xx3−1=0\frac{x}{x^{3} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(x^3 - 1).
0−1+03\frac{0}{-1 + 0^{3}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x3(x3−1)2+1x3−1=0- \frac{3 x^{3}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{3} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2232x_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
   2/3    2/3 
 -2      2    
(------, ----)
   2      3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−2232x_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−2232]\left(-\infty, - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}\right]
Crece en los intervalos
[−2232,∞)\left[- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6x2(3x3x3−1−2)(x3−1)2=0\frac{6 x^{2} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 2\right)}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−23x_{2} = - \sqrt[3]{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(6x2(3x3x3−1−2)(x3−1)2)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x^{2} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 2\right)}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(6x2(3x3x3−1−2)(x3−1)2)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x^{2} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 2\right)}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−23]\left(-\infty, - \sqrt[3]{2}\right]
Convexa en los intervalos
[−23,∞)\left[- \sqrt[3]{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xx3−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{3} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(xx3−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{3} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(x^3 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞1x3−1=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{3} - 1} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞1x3−1=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3} - 1} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xx3−1=−x−x3−1\frac{x}{x^{3} - 1} = - \frac{x}{- x^{3} - 1}
- No
xx3−1=x−x3−1\frac{x}{x^{3} - 1} = \frac{x}{- x^{3} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x/((x^3)-1)
    © Sr Examen – Калькулятор