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Trazado el gráfico de la función/ -x*log(x,2)-(1-x)*log((1-x),2)

Gráfico de la función y = -x*log(x,2)-(1-x)*log((1-x),2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          log(x)                        
f(x) = -x*------ - (1 - x)*log(1 - x, 2)
          log(2)
f(x)=−xlog⁡(x)log⁡(2)−(1−x)log⁡(1−x)f{\left(x \right)} = - x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)} 
f = (-x)*(log(x)/log(2)) - (1 - x*log(1 - x, 2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−xlog⁡(x)log⁡(2)−(1−x)log⁡(1−x)=0- x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=1x_{2} = 1
x3=1x_{3} = 1
x4=1.00000000000002x_{4} = 1.00000000000002
x5=1x_{5} = 1
x6=1x_{6} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-x)*(log(x)/log(2)) - (1 - x)*log(1 - x, 2).
−0log⁡(0)log⁡(2)−(1−0)log⁡(1−0)- 0 \frac{\log{\left(0 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \left(1 - 0\right) \log{\left(1 - 0 \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−log⁡(x)log⁡(2)+log⁡(1−x)−1log⁡(2)−x−11−x=0- \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \log{\left(1 - x \right)} - \frac{1}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{x - 1}{1 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=22+ex_{1} = \frac{2}{2 + e}
Signos de extremos en los puntos:
          /      2  \    /      2  \         /  2  \  
          |1 - -----|*log|1 - -----|    2*log|-----|  
   2      \    2 + E/    \    2 + E/         \2 + E/  
(-----, - -------------------------- - --------------)
 2 + E              log(2)             (2 + E)*log(2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1x−1−1xlog⁡(2)=0\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x \log{\left(2 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=11−log⁡(2)x_{1} = \frac{1}{1 - \log{\left(2 \right)}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−xlog⁡(x)log⁡(2)−(1−x)log⁡(1−x))=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(- x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−xlog⁡(x)log⁡(2)−(1−x)log⁡(1−x))=∞i\lim_{x \to \infty}\left(- x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x)*(log(x)/log(2)) - (1 - x)*log(1 - x, 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−xlog⁡(x)log⁡(2)−(1−x)log⁡(1−x)x)=−iπlog⁡(2)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}}{x}\right) = - \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−iπxlog⁡(2)y = - \frac{i \pi x}{\log{\left(2 \right)}}
lim⁡x→∞(−xlog⁡(x)log⁡(2)−(1−x)log⁡(1−x)x)=iπlog⁡(2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}}{x}\right) = \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=iπxlog⁡(2)y = \frac{i \pi x}{\log{\left(2 \right)}}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−xlog⁡(x)log⁡(2)−(1−x)log⁡(1−x)=xlog⁡(−x)log⁡(2)−(x+1)log⁡(x+1)log⁡(2)- x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)} = \frac{x \log{\left(- x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
- No
−xlog⁡(x)log⁡(2)−(1−x)log⁡(1−x)=−xlog⁡(−x)log⁡(2)+(x+1)log⁡(x+1)log⁡(2)- x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)} = - \frac{x \log{\left(- x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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