Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 0,5/(sqrt(x^2+0,5^2))

Gráfico de la función y = 0,5/(sqrt(x^2+0,5^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              1        
f(x) = ----------------
              _________
             /  2   1  
       2*   /  x  + -- 
           /         2 
         \/         2
f(x)=12x2+(12)2f{\left(x \right)} = \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}} 
f = 1/(2*sqrt(x^2 + (1/2)^2))
Gráfico de la función
0246820101214161802
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
12x2+(12)2=0\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(2*sqrt(x^2 + (1/2)^2)).
1202+(12)2\frac{1}{2 \sqrt{0^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x2(x2+(12)2)32=0- \frac{x}{2 \left(x^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12x24x2+1−12(x2+14)32=0\frac{\frac{12 x^{2}}{4 x^{2} + 1} - 1}{2 \left(x^{2} + \frac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−24x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{4}
x2=24x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−24]∪[24,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−24,24]\left[- \frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(12x2+(12)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(12x2+(12)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(2*sqrt(x^2 + (1/2)^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(12xx2+(12)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{2 x \sqrt{x^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(12xx2+(12)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 x \sqrt{x^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
12x2+(12)2=12x2+(12)2\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}
- Sí
12x2+(12)2=−12x2+(12)2\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}} = - \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}
- No
es decir, función
es
par
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