Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(pi*x)^2

Gráfico de la función y = sin(pi*x)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2      
f(x) = sin (pi*x)
f(x)=sin⁡2(πx)f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(\pi x \right)} 
f = sin(pi*x)^2
Gráfico de la función
1.001.051.101.151.201.251.301.351.401.451.501.5502
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡2(πx)=0\sin^{2}{\left(\pi x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=28x_{1} = 28
x2=−22x_{2} = -22
x3=−54x_{3} = -54
x4=−32x_{4} = -32
x5=−38x_{5} = -38
x6=32x_{6} = 32
x7=82x_{7} = 82
x8=76x_{8} = 76
x9=−58x_{9} = -58
x10=−86x_{10} = -86
x11=−50x_{11} = -50
x12=86x_{12} = 86
x13=80x_{13} = 80
x14=−64x_{14} = -64
x15=−100x_{15} = -100
x16=36x_{16} = 36
x17=−12x_{17} = -12
x18=38x_{18} = 38
x19=−20x_{19} = -20
x20=−8x_{20} = -8
x21=−10x_{21} = -10
x22=−44x_{22} = -44
x23=66x_{23} = 66
x24=−62x_{24} = -62
x25=−46x_{25} = -46
x26=−48x_{26} = -48
x27=50x_{27} = 50
x28=−74x_{28} = -74
x29=4x_{29} = 4
x30=98x_{30} = 98
x31=−2x_{31} = -2
x32=−66x_{32} = -66
x33=2x_{33} = 2
x34=−28x_{34} = -28
x35=78x_{35} = 78
x36=−92x_{36} = -92
x37=20x_{37} = 20
x38=54x_{38} = 54
x39=40x_{39} = 40
x40=−40x_{40} = -40
x41=90x_{41} = 90
x42=74x_{42} = 74
x43=10x_{43} = 10
x44=−76x_{44} = -76
x45=60x_{45} = 60
x46=−18x_{46} = -18
x47=−98x_{47} = -98
x48=−36x_{48} = -36
x49=58x_{49} = 58
x50=−30x_{50} = -30
x51=34x_{51} = 34
x52=18x_{52} = 18
x53=−60x_{53} = -60
x54=70x_{54} = 70
x55=14x_{55} = 14
x56=30x_{56} = 30
x57=24x_{57} = 24
x58=64x_{58} = 64
x59=−84x_{59} = -84
x60=26x_{60} = 26
x61=84x_{61} = 84
x62=52x_{62} = 52
x63=56x_{63} = 56
x64=68x_{64} = 68
x65=44x_{65} = 44
x66=94x_{66} = 94
x67=96x_{67} = 96
x68=0x_{68} = 0
x69=−26x_{69} = -26
x70=48x_{70} = 48
x71=−14x_{71} = -14
x72=−78x_{72} = -78
x73=6x_{73} = 6
x74=−90x_{74} = -90
x75=16x_{75} = 16
x76=−82x_{76} = -82
x77=92x_{77} = 92
x78=−34x_{78} = -34
x79=42x_{79} = 42
x80=−4x_{80} = -4
x81=−56x_{81} = -56
x82=72x_{82} = 72
x83=−72x_{83} = -72
x84=−52x_{84} = -52
x85=−16x_{85} = -16
x86=−42x_{86} = -42
x87=−6x_{87} = -6
x88=8x_{88} = 8
x89=−24x_{89} = -24
x90=−68x_{90} = -68
x91=88x_{91} = 88
x92=−94x_{92} = -94
x93=46x_{93} = 46
x94=−88x_{94} = -88
x95=22x_{95} = 22
x96=−96x_{96} = -96
x97=−70x_{97} = -70
x98=−80x_{98} = -80
x99=100x_{99} = 100
x100=12x_{100} = 12
x101=62x_{101} = 62
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(pi*x)^2.
sin⁡2(0π)\sin^{2}{\left(0 \pi \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2πsin⁡(πx)cos⁡(πx)=02 \pi \sin{\left(\pi x \right)} \cos{\left(\pi x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
x2=0x_{2} = 0
x3=12x_{3} = \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(-1/2, 1)

(0, 0)

(1/2, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−12]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[12,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2π2(−sin⁡2(πx)+cos⁡2(πx))=02 \pi^{2} \left(- \sin^{2}{\left(\pi x \right)} + \cos^{2}{\left(\pi x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−34x_{1} = - \frac{3}{4}
x2=−14x_{2} = - \frac{1}{4}
x3=14x_{3} = \frac{1}{4}
x4=34x_{4} = \frac{3}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[34,∞)\left[\frac{3}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−14]∪[14,34]\left(-\infty, - \frac{1}{4}\right] \cup \left[\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡2(πx)=⟨0,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin^{2}{\left(\pi x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡2(πx)=⟨0,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin^{2}{\left(\pi x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(pi*x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(πx)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡2(πx)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡2(πx)=sin⁡2(πx)\sin^{2}{\left(\pi x \right)} = \sin^{2}{\left(\pi x \right)}
- Sí
sin⁡2(πx)=−sin⁡2(πx)\sin^{2}{\left(\pi x \right)} = - \sin^{2}{\left(\pi x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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