Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (arctg(1/x)-arctg(x-4))^1/2

Gráfico de la función y = (arctg(1/x)-arctg(x-4))^1/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           _______________________
          /     /1\               
f(x) =   /  atan|-| - atan(x - 4) 
       \/       \x/
f(x)=atan⁡(1x)−atan⁡(x−4)f{\left(x \right)} = \sqrt{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}} 
f = sqrt(atan(1/x) - atan(x - 4))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(1x)−atan⁡(x−4)=0\sqrt{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2−5x_{1} = 2 - \sqrt{5}
x2=2+5x_{2} = 2 + \sqrt{5}
Solución numérica
x1=−0.23606797749979x_{1} = -0.23606797749979
x2=4.23606797749979x_{2} = 4.23606797749979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(atan(1/x) - atan(x - 4)).
atan⁡(10)−atan⁡(−4)\sqrt{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{0} \right)} - \operatorname{atan}{\left(-4 \right)}}
Resultado:
f(0)=⟨−π2,π2⟩+atan⁡(4)f{\left(0 \right)} = \sqrt{\left\langle - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\rangle + \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}
Punto:
(0, sqrt(AccumBounds(-pi/2, pi/2) + atan(4)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−12((x−4)2+1)−12x2(1+1x2)atan⁡(1x)−atan⁡(x−4)=0\frac{- \frac{1}{2 \left(\left(x - 4\right)^{2} + 1\right)} - \frac{1}{2 x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}}{\sqrt{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x−4((x−4)2+1)2−(1(x−4)2+1+1x2(1+1x2))24(atan⁡(1x)−atan⁡(x−4))+1x3(1+1x2)−1x5(1+1x2)2atan⁡(1x)−atan⁡(x−4)=0\frac{\frac{x - 4}{\left(\left(x - 4\right)^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{\left(\frac{1}{\left(x - 4\right)^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)^{2}}{4 \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}\right)} + \frac{1}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} - \frac{1}{x^{5} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}}{\sqrt{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23466.1242924876x_{1} = -23466.1242924876
x2=21901.639593013x_{2} = 21901.639593013
x3=−22616.1525789554x_{3} = -22616.1525789554
x4=−20065.0742048935x_{4} = -20065.0742048935
x5=−12392.6748695511x_{5} = -12392.6748695511
x6=−36202.5963847299x_{6} = -36202.5963847299
x7=−11536.8508517417x_{7} = -11536.8508517417
x8=−42990.0236752132x_{8} = -42990.0236752132
x9=25301.1390398238x_{9} = 25301.1390398238
x10=38883.5130728227x_{10} = 38883.5130728227
x11=−41293.3676511618x_{11} = -41293.3676511618
x12=40580.3482051333x_{12} = 40580.3482051333
x13=36337.9793707845x_{13} = 36337.9793707845
x14=26150.6539516719x_{14} = 26150.6539516719
x15=−42141.7100686414x_{15} = -42141.7100686414
x16=24451.4947124932x_{16} = 24451.4947124932
x17=−15807.6193280449x_{17} = -15807.6193280449
x18=15943.5989104558x_{18} = 15943.5989104558
x19=−31959.0546187405x_{19} = -31959.0546187405
x20=37186.531440491x_{20} = 37186.531440491
x21=30396.6583384011x_{21} = 30396.6583384011
x22=−37899.6717258444x_{22} = -37899.6717258444
x23=−33656.6357467419x_{23} = -33656.6357467419
x24=−34505.3401257076x_{24} = -34505.3401257076
x25=28698.5343179811x_{25} = 28698.5343179811
x26=22751.7616502334x_{26} = 22751.7616502334
x27=−14954.8706939695x_{27} = -14954.8706939695
x28=32943.2903796417x_{28} = 32943.2903796417
x29=−17511.6851566182x_{29} = -17511.6851566182
x30=23601.7074173072x_{30} = 23601.7074173072
x31=35489.3826220552x_{31} = 35489.3826220552
x32=13383.7877600158x_{32} = 13383.7877600158
x33=19349.9926409887x_{33} = 19349.9926409887
x34=27849.3417080111x_{34} = 27849.3417080111
x35=17647.53296077x_{35} = 17647.53296077
x36=32094.4792351762x_{36} = 32094.4792351762
x37=38035.0417769193x_{37} = 38035.0417769193
x38=−25165.6003812394x_{38} = -25165.6003812394
x39=−31110.1686482313x_{39} = -31110.1686482313
x40=−37051.1551403055x_{40} = -37051.1551403055
x41=20200.7809812135x_{41} = 20200.7809812135
x42=−20915.6502902947x_{42} = -20915.6502902947
x43=1.8587215448898x_{43} = 1.8587215448898
x44=12529.0830623558x_{44} = 12529.0830623558
x45=−28563.0625504702x_{45} = -28563.0625504702
x46=−18363.1283316627x_{46} = -18363.1283316627
x47=39731.9477945119x_{47} = 39731.9477945119
x48=33792.041852925x_{48} = 33792.041852925
x49=−19214.2447548875x_{49} = -19214.2447548875
x50=27000.0513454598x_{50} = 27000.0513454598
x51=−27713.8554373129x_{51} = -27713.8554373129
x52=16795.7767528611x_{52} = 16795.7767528611
x53=−38748.1488712737x_{53} = -38748.1488712737
x54=−13247.5156230783x_{54} = -13247.5156230783
x55=−40444.9946337149x_{55} = -40444.9946337149
x56=34640.7379652008x_{56} = 34640.7379652008
x57=−26864.5492130034x_{57} = -26864.5492130034
x58=−14101.5375279347x_{58} = -14101.5375279347
x59=−29412.1789420411x_{59} = -29412.1789420411
x60=−21766.0015950202x_{60} = -21766.0015950202
x61=−30261.2120830921x_{61} = -30261.2120830921
x62=−24315.9349481124x_{62} = -24315.9349481124
x63=31245.6036511136x_{63} = 31245.6036511136
x64=11673.4231493524x_{64} = 11673.4231493524
x65=−35353.9924717819x_{65} = -35353.9924717819
x66=21051.3206671371x_{66} = 21051.3206671371
x67=15090.9324719551x_{67} = 15090.9324719551
x68=−39596.5890762109x_{68} = -39596.5890762109
x69=−32807.8753701232x_{69} = -32807.8753701232
x70=10816.605574542x_{70} = 10816.605574542
x71=41428.7163851388x_{71} = 41428.7163851388
x72=18498.9228808194x_{72} = 18498.9228808194
x73=29547.6374144984x_{73} = 29547.6374144984
x74=−26015.1344243707x_{74} = -26015.1344243707
x75=14237.695687057x_{75} = 14237.695687057
x76=−16659.8678108298x_{76} = -16659.8678108298
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(x−4((x−4)2+1)2−(1(x−4)2+1+1x2(1+1x2))24(atan⁡(1x)−atan⁡(x−4))+1x3(1+1x2)−1x5(1+1x2)2atan⁡(1x)−atan⁡(x−4))=−−42π+82atan⁡(4)+1622−289π−π+2atan⁡(4)+578−π+2atan⁡(4)atan⁡(4)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{x - 4}{\left(\left(x - 4\right)^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{\left(\frac{1}{\left(x - 4\right)^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)^{2}}{4 \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}\right)} + \frac{1}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} - \frac{1}{x^{5} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}}{\sqrt{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}}}\right) = - \frac{- 4 \sqrt{2} \pi + 8 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(4 \right)} + 162 \sqrt{2}}{- 289 \pi \sqrt{- \pi + 2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)}} + 578 \sqrt{- \pi + 2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)}} \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}
lim⁡x→0+(x−4((x−4)2+1)2−(1(x−4)2+1+1x2(1+1x2))24(atan⁡(1x)−atan⁡(x−4))+1x3(1+1x2)−1x5(1+1x2)2atan⁡(1x)−atan⁡(x−4))=−82atan⁡(4)+42π+16225782atan⁡(4)+πatan⁡(4)+289π2atan⁡(4)+π\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x - 4}{\left(\left(x - 4\right)^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{\left(\frac{1}{\left(x - 4\right)^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)^{2}}{4 \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}\right)} + \frac{1}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} - \frac{1}{x^{5} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}}{\sqrt{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}}}\right) = - \frac{8 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(4 \right)} + 4 \sqrt{2} \pi + 162 \sqrt{2}}{578 \sqrt{2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)} + \pi} \operatorname{atan}{\left(4 \right)} + 289 \pi \sqrt{2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)} + \pi}}
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1.8587215448898]\left(-\infty, 1.8587215448898\right]
Convexa en los intervalos
[1.8587215448898,∞)\left[1.8587215448898, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(1x)−atan⁡(x−4)=2π2\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=2π2y = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}
lim⁡x→∞atan⁡(1x)−atan⁡(x−4)=2iπ2\lim_{x \to \infty} \sqrt{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}} = \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\pi}}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=2iπ2y = \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\pi}}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(atan(1/x) - atan(x - 4)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(1x)−atan⁡(x−4)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(1x)−atan⁡(x−4)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(1x)−atan⁡(x−4)=−atan⁡(1x)+atan⁡(x+4)\sqrt{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}} = \sqrt{- \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x + 4 \right)}}
- No
atan⁡(1x)−atan⁡(x−4)=−−atan⁡(1x)+atan⁡(x+4)\sqrt{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}} = - \sqrt{- \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x + 4 \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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