Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\frac{1}{\left(x + 7\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\left(x - 3\right) \sqrt{x + 7}} - \frac{8 \sqrt{x + 7}}{\left(x - 3\right)^{2}}}{x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -17 - \frac{20 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = -17 + \frac{20 \sqrt{3}}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\frac{1}{\left(x + 7\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\left(x - 3\right) \sqrt{x + 7}} - \frac{8 \sqrt{x + 7}}{\left(x - 3\right)^{2}}}{x - 3}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{1}{\left(x + 7\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\left(x - 3\right) \sqrt{x + 7}} - \frac{8 \sqrt{x + 7}}{\left(x - 3\right)^{2}}}{x - 3}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-17 + \frac{20 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -17 + \frac{20 \sqrt{3}}{3}\right]$$