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cos(2*arccos(x))
Trazado el gráfico de la función/ cos(2*arccos(x))

Gráfico de la función y = cos(2*arccos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(2*acos(x))
f(x)=cos⁡(2acos⁡(x))f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)} 
f = cos(2*acos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010400-200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(2*acos(x)).
cos⁡(2acos⁡(0))\cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(2acos⁡(x))1−x2=0\frac{2 \sin{\left(2 \operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(xsin⁡(2acos⁡(x))(1−x2)32+2cos⁡(2acos⁡(x))x2−1)=02 \left(\frac{x \sin{\left(2 \operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(2acos⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞cos⁡(2acos⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty} \cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(2acos⁡(x))=cos⁡(2acos⁡(−x))\cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)} = \cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(- x \right)} \right)}
- No
cos⁡(2acos⁡(x))=−cos⁡(2acos⁡(−x))\cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)} = - \cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(- x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(2*arccos(x))
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