Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt(x)/(x+6)x^2

Gráfico de la función y = cbrt(x)/(x+6)x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       3 ___   
       \/ x   2
f(x) = -----*x 
       x + 6
$$f{\left(x \right)} = x^{2} \frac{\sqrt[3]{x}}{x + 6}$$ 
f = x^2*(x^(1/3)/(x + 6))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -6$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} \frac{\sqrt[3]{x}}{x + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.50042919552292 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 1.50204742606353 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = 1.31494750190072 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^(1/3)/(x + 6))*x^2.
$$0^{2} \frac{\sqrt[3]{0}}{6}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x^{\frac{4}{3}}}{x + 6} + x^{2} \left(- \frac{\sqrt[3]{x}}{\left(x + 6\right)^{2}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \left(x + 6\right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{21}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
            3 _____  2/3 
        -49*\/ -21 *2    
(-21/2, ----------------)
               4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{21}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{21}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{21}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -6$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \frac{\sqrt[3]{x}}{x + 6}\right) = - \infty \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - \infty \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \frac{\sqrt[3]{x}}{x + 6}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^(1/3)/(x + 6))*x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x + 6}\right) = \infty \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \infty \sqrt[3]{-1} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x + 6}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{2} \frac{\sqrt[3]{x}}{x + 6} = \frac{x^{2} \sqrt[3]{- x}}{6 - x}$$
- No
$$x^{2} \frac{\sqrt[3]{x}}{x + 6} = - \frac{x^{2} \sqrt[3]{- x}}{6 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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