Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ |x+2/x+3|

Gráfico de la función y = |x+2/x+3|

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |    2    |
f(x) = |x + - + 3|
       |    x    |
f(x)=∣(x+2x)+3∣f{\left(x \right)} = \left|{\left(x + \frac{2}{x}\right) + 3}\right| 
f = |x + 2/x + 3|
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣(x+2x)+3∣=0\left|{\left(x + \frac{2}{x}\right) + 3}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x + 2/x + 3|.
∣20+3∣\left|{\frac{2}{0} + 3}\right|
Resultado:
f(0)=∞f{\left(0 \right)} = \infty
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(1−2x2)sign⁡(x+3+2x)=0\left(1 - \frac{2}{x^{2}}\right) \operatorname{sign}{\left(x + 3 + \frac{2}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
Signos de extremos en los puntos:
    ___          ___ 
(-\/ 2, 3 - 2*\/ 2 )

   ___          ___ 
(\/ 2, 3 + 2*\/ 2 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2x_{1} = \sqrt{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−2]∪[2,∞)\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−2,2]\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣(x+2x)+3∣=∞\lim_{x \to -\infty} \left|{\left(x + \frac{2}{x}\right) + 3}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞∣(x+2x)+3∣=∞\lim_{x \to \infty} \left|{\left(x + \frac{2}{x}\right) + 3}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x + 2/x + 3|, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣(x+2x)+3∣x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\left(x + \frac{2}{x}\right) + 3}\right|}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(∣(x+2x)+3∣x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\left(x + \frac{2}{x}\right) + 3}\right|}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣(x+2x)+3∣=∣x−3+2x∣\left|{\left(x + \frac{2}{x}\right) + 3}\right| = \left|{x - 3 + \frac{2}{x}}\right|
- No
∣(x+2x)+3∣=−∣x−3+2x∣\left|{\left(x + \frac{2}{x}\right) + 3}\right| = - \left|{x - 3 + \frac{2}{x}}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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