Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^2-1)
-
x^3/(3-x^2)
-
x^2/(x-1)
-
y=x^3-3x^2+4
-
Expresiones idénticas
- sin(x)+sin(dos *x)
- seno de (x) más seno de (2 multiplicar por x)
- seno de (x) más seno de (dos multiplicar por x)
- sin(x)+sin(2x)
- sinx+sin2x
-
Expresiones semejantes
- y=sin(x)+sin(2x)
- abs(sin(x))+sin^2(x)+cos^2(x)-3*tg^4(x)
- 2×sinx+sin2x
- sin(x)-sin(2*x)
- sinx+sin(2*x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)/2
- sin(x)+sin(2*x)+sin(3*x)
- sin(x)+x/2
- sin(x)*e^3
- sin(x/5)*exp(x/10)
- Seno sin
- sin(x)/2
- sin(x)+sin(2*x)+sin(3*x)
- sin(x)+x/2
- sin(x)*e^3
- sin(x/5)*exp(x/10)
Gráfico de la función y = sin(x)+sin(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = sin(x) + sin(2*x)
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$$
f = sin(x) + sin(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \pi$$
$$x_{4} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{5} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{6} = \pi$$
$$x_{7} = \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{8} = 2 \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 65.9734457253857$$
$$x_{2} = -5612.97887441376$$
$$x_{3} = -79.5870138909414$$
$$x_{4} = -21.9911485751286$$
$$x_{5} = 21.9911485751286$$
$$x_{6} = -85.870199198121$$
$$x_{7} = -15.707963267949$$
$$x_{8} = -4.18879020478639$$
$$x_{9} = 73.3038285837618$$
$$x_{10} = -67.0206432765823$$
$$x_{11} = -35.6047167406843$$
$$x_{12} = 6.28318530717959$$
$$x_{13} = 2.0943951023932$$
$$x_{14} = 39.7935069454707$$
$$x_{15} = -39.7935069454707$$
$$x_{16} = -77.4926187885482$$
$$x_{17} = 28.2743338823081$$
$$x_{18} = 29.3215314335047$$
$$x_{19} = -94.2477796076938$$
$$x_{20} = -12.5663706143592$$
$$x_{21} = -73.3038285837618$$
$$x_{22} = -96.342174710087$$
$$x_{23} = 85.870199198121$$
$$x_{24} = -25.1327412287183$$
$$x_{25} = -53.4070751110265$$
$$x_{26} = 98.4365698124802$$
$$x_{27} = 20.943951023932$$
$$x_{28} = -90.0589894029074$$
$$x_{29} = -41.8879020478639$$
$$x_{30} = 64.9262481741891$$
$$x_{31} = 59.6902604182061$$
$$x_{32} = -23.0383461263252$$
$$x_{33} = 90.0589894029074$$
$$x_{34} = 56.5486677646163$$
$$x_{35} = -2.0943951023932$$
$$x_{36} = 41.8879020478639$$
$$x_{37} = 72.2566310325652$$
$$x_{38} = -50.2654824574367$$
$$x_{39} = 14.6607657167524$$
$$x_{40} = 79.5870138909414$$
$$x_{41} = 78.5398163397448$$
$$x_{42} = -87.9645943005142$$
$$x_{43} = 37.6991118430775$$
$$x_{44} = -6.28318530717959$$
$$x_{45} = -37.6991118430775$$
$$x_{46} = -43.9822971502571$$
$$x_{47} = -14.6607657167524$$
$$x_{48} = -100.530964914873$$
$$x_{49} = 8.37758040957278$$
$$x_{50} = -72.2566310325652$$
$$x_{51} = 52.3598775598299$$
$$x_{52} = -81.6814089933346$$
$$x_{53} = -46.0766922526503$$
$$x_{54} = -58.6430628670095$$
$$x_{55} = -33.5103216382911$$
$$x_{56} = -65.9734457253857$$
$$x_{57} = 0$$
$$x_{58} = 35.6047167406843$$
$$x_{59} = -28.2743338823081$$
$$x_{60} = -56.5486677646163$$
$$x_{61} = 96.342174710087$$
$$x_{62} = 31.4159265358979$$
$$x_{63} = 43.9822971502571$$
$$x_{64} = -83.7758040957278$$
$$x_{65} = 100.530964914873$$
$$x_{66} = 81.6814089933346$$
$$x_{67} = -75.398223686155$$
$$x_{68} = -8.37758040957278$$
$$x_{69} = 50.2654824574367$$
$$x_{70} = 48.1710873550435$$
$$x_{71} = 94.2477796076938$$
$$x_{72} = 4.18879020478639$$
$$x_{73} = 83.7758040957278$$
$$x_{74} = -59.6902604182061$$
$$x_{75} = 58.6430628670095$$
$$x_{76} = 12.5663706143592$$
$$x_{77} = -69.1150383789755$$
$$x_{78} = 54.4542726622231$$
$$x_{79} = 18.8495559215388$$
$$x_{80} = 34.5575191894877$$
$$x_{81} = 92.1533845053006$$
$$x_{82} = -48.1710873550435$$
$$x_{83} = 46.0766922526503$$
$$x_{84} = -29.3215314335047$$
$$x_{85} = 15.707963267949$$
$$x_{86} = 10.471975511966$$
$$x_{87} = 87.9645943005142$$
$$x_{88} = -9.42477796076938$$
$$x_{89} = -92.1533845053006$$
$$x_{90} = -52.3598775598299$$
$$x_{91} = 62.8318530717959$$
$$x_{92} = -31.4159265358979$$
$$x_{93} = 75.398223686155$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \pi$$
$$x_{4} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{5} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{6} = \pi$$
$$x_{7} = \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{8} = 2 \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 65.9734457253857$$
$$x_{2} = -5612.97887441376$$
$$x_{3} = -79.5870138909414$$
$$x_{4} = -21.9911485751286$$
$$x_{5} = 21.9911485751286$$
$$x_{6} = -85.870199198121$$
$$x_{7} = -15.707963267949$$
$$x_{8} = -4.18879020478639$$
$$x_{9} = 73.3038285837618$$
$$x_{10} = -67.0206432765823$$
$$x_{11} = -35.6047167406843$$
$$x_{12} = 6.28318530717959$$
$$x_{13} = 2.0943951023932$$
$$x_{14} = 39.7935069454707$$
$$x_{15} = -39.7935069454707$$
$$x_{16} = -77.4926187885482$$
$$x_{17} = 28.2743338823081$$
$$x_{18} = 29.3215314335047$$
$$x_{19} = -94.2477796076938$$
$$x_{20} = -12.5663706143592$$
$$x_{21} = -73.3038285837618$$
$$x_{22} = -96.342174710087$$
$$x_{23} = 85.870199198121$$
$$x_{24} = -25.1327412287183$$
$$x_{25} = -53.4070751110265$$
$$x_{26} = 98.4365698124802$$
$$x_{27} = 20.943951023932$$
$$x_{28} = -90.0589894029074$$
$$x_{29} = -41.8879020478639$$
$$x_{30} = 64.9262481741891$$
$$x_{31} = 59.6902604182061$$
$$x_{32} = -23.0383461263252$$
$$x_{33} = 90.0589894029074$$
$$x_{34} = 56.5486677646163$$
$$x_{35} = -2.0943951023932$$
$$x_{36} = 41.8879020478639$$
$$x_{37} = 72.2566310325652$$
$$x_{38} = -50.2654824574367$$
$$x_{39} = 14.6607657167524$$
$$x_{40} = 79.5870138909414$$
$$x_{41} = 78.5398163397448$$
$$x_{42} = -87.9645943005142$$
$$x_{43} = 37.6991118430775$$
$$x_{44} = -6.28318530717959$$
$$x_{45} = -37.6991118430775$$
$$x_{46} = -43.9822971502571$$
$$x_{47} = -14.6607657167524$$
$$x_{48} = -100.530964914873$$
$$x_{49} = 8.37758040957278$$
$$x_{50} = -72.2566310325652$$
$$x_{51} = 52.3598775598299$$
$$x_{52} = -81.6814089933346$$
$$x_{53} = -46.0766922526503$$
$$x_{54} = -58.6430628670095$$
$$x_{55} = -33.5103216382911$$
$$x_{56} = -65.9734457253857$$
$$x_{57} = 0$$
$$x_{58} = 35.6047167406843$$
$$x_{59} = -28.2743338823081$$
$$x_{60} = -56.5486677646163$$
$$x_{61} = 96.342174710087$$
$$x_{62} = 31.4159265358979$$
$$x_{63} = 43.9822971502571$$
$$x_{64} = -83.7758040957278$$
$$x_{65} = 100.530964914873$$
$$x_{66} = 81.6814089933346$$
$$x_{67} = -75.398223686155$$
$$x_{68} = -8.37758040957278$$
$$x_{69} = 50.2654824574367$$
$$x_{70} = 48.1710873550435$$
$$x_{71} = 94.2477796076938$$
$$x_{72} = 4.18879020478639$$
$$x_{73} = 83.7758040957278$$
$$x_{74} = -59.6902604182061$$
$$x_{75} = 58.6430628670095$$
$$x_{76} = 12.5663706143592$$
$$x_{77} = -69.1150383789755$$
$$x_{78} = 54.4542726622231$$
$$x_{79} = 18.8495559215388$$
$$x_{80} = 34.5575191894877$$
$$x_{81} = 92.1533845053006$$
$$x_{82} = -48.1710873550435$$
$$x_{83} = 46.0766922526503$$
$$x_{84} = -29.3215314335047$$
$$x_{85} = 15.707963267949$$
$$x_{86} = 10.471975511966$$
$$x_{87} = 87.9645943005142$$
$$x_{88} = -9.42477796076938$$
$$x_{89} = -92.1533845053006$$
$$x_{90} = -52.3598775598299$$
$$x_{91} = 62.8318530717959$$
$$x_{92} = -31.4159265358979$$
$$x_{93} = 75.398223686155$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{-1 + \sqrt{33}} \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{- \sqrt{33} - 1} \right)} + \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{-1 + \sqrt{33}} \right)}$$
$$x_{2} = - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{- \sqrt{33} - 1} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{- \sqrt{33} - 1} \right)} + \pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{-1 + \sqrt{33}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{-1 + \sqrt{33}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{- \sqrt{33} - 1} \right)} + \pi\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ _____________\ / / _____________\\ / / _____________\\
| ____ ___ / ____ | | | ____ ___ / ____ || | | ____ ___ / ____ ||
| 1 \/ 33 I*\/ 2 *\/ 15 + \/ 33 | | | 1 \/ 33 I*\/ 2 *\/ 15 + \/ 33 || | | 1 \/ 33 I*\/ 2 *\/ 15 + \/ 33 ||
(-I*log|- - + ------ - ------------------------|, - sin|I*log|- - + ------ - ------------------------|| - sin|2*I*log|- - + ------ - ------------------------||)
\ 8 8 8 / \ \ 8 8 8 // \ \ 8 8 8 // / _____________\ / / _____________\\ / / _____________\\
| ____ ___ / ____ | | | ____ ___ / ____ || | | ____ ___ / ____ ||
| 1 \/ 33 I*\/ 2 *\/ 15 + \/ 33 | | | 1 \/ 33 I*\/ 2 *\/ 15 + \/ 33 || | | 1 \/ 33 I*\/ 2 *\/ 15 + \/ 33 ||
(-I*log|- - + ------ + ------------------------|, - sin|I*log|- - + ------ + ------------------------|| - sin|2*I*log|- - + ------ + ------------------------||)
\ 8 8 8 / \ \ 8 8 8 // \ \ 8 8 8 // / _____________\ / / _____________\\ / / _____________\\
| ____ ___ / ____ | | | ____ ___ / ____ || | | ____ ___ / ____ ||
| 1 \/ 33 I*\/ 2 *\/ 15 - \/ 33 | | | 1 \/ 33 I*\/ 2 *\/ 15 - \/ 33 || | | 1 \/ 33 I*\/ 2 *\/ 15 - \/ 33 ||
(-I*log|- - - ------ - ------------------------|, - sin|I*log|- - - ------ - ------------------------|| - sin|2*I*log|- - - ------ - ------------------------||)
\ 8 8 8 / \ \ 8 8 8 // \ \ 8 8 8 // / _____________\ / / _____________\\ / / _____________\\
| ____ ___ / ____ | | | ____ ___ / ____ || | | ____ ___ / ____ ||
| 1 \/ 33 I*\/ 2 *\/ 15 - \/ 33 | | | 1 \/ 33 I*\/ 2 *\/ 15 - \/ 33 || | | 1 \/ 33 I*\/ 2 *\/ 15 - \/ 33 ||
(-I*log|- - - ------ + ------------------------|, - sin|I*log|- - - ------ + ------------------------|| - sin|2*I*log|- - - ------ + ------------------------||)
\ 8 8 8 / \ \ 8 8 8 // \ \ 8 8 8 // Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{-1 + \sqrt{33}} \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{- \sqrt{33} - 1} \right)} + \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{-1 + \sqrt{33}} \right)}$$
$$x_{2} = - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{- \sqrt{33} - 1} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{- \sqrt{33} - 1} \right)} + \pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{-1 + \sqrt{33}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{-1 + \sqrt{33}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{- \sqrt{33} - 1} \right)} + \pi\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\sin{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{1}{8} - \frac{3 \sqrt{7} i}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{7} i}{8} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(3 \sqrt{7} \right)}, 0\right] \cup \left[\pi - \operatorname{atan}{\left(3 \sqrt{7} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(3 \sqrt{7} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\sin{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{1}{8} - \frac{3 \sqrt{7} i}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{7} i}{8} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(3 \sqrt{7} \right)}, 0\right] \cup \left[\pi - \operatorname{atan}{\left(3 \sqrt{7} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(3 \sqrt{7} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + sin(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico