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e^(sin(1-3*x)^(2))
Trazado el gráfico de la función/ e^(sin(1-3*x)^(2))

Gráfico de la función y = e^(sin(1-3*x)^(2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           2         
        sin (1 - 3*x)
f(x) = E
f(x)=esin⁡2(1−3x)f{\left(x \right)} = e^{\sin^{2}{\left(1 - 3 x \right)}} 
f = E^(sin(1 - 3*x)^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
esin⁡2(1−3x)=0e^{\sin^{2}{\left(1 - 3 x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^(sin(1 - 3*x)^2).
esin⁡2(1−0)e^{\sin^{2}{\left(1 - 0 \right)}}
Resultado:
f(0)=esin⁡2(1)f{\left(0 \right)} = e^{\sin^{2}{\left(1 \right)}}
Punto:
(0, exp(sin(1)^2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−6esin⁡2(1−3x)sin⁡(1−3x)cos⁡(3x−1)=0- 6 e^{\sin^{2}{\left(1 - 3 x \right)}} \sin{\left(1 - 3 x \right)} \cos{\left(3 x - 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
x2=−ilog⁡(−ei3)x_{2} = - i \log{\left(- e^{\frac{i}{3}} \right)}
x3=−ilog⁡(−ei(1+π)3)x_{3} = - i \log{\left(- e^{\frac{i \left(1 + \pi\right)}{3}} \right)}
x4=−ilog⁡(−ei(2+π)6)x_{4} = - i \log{\left(- e^{\frac{i \left(2 + \pi\right)}{6}} \right)}
x5=13+π6x_{5} = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{6}
x6=13+π3x_{6} = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(1/3, 1)

                   /           /  I\\ 
       /  I\       |           |  -|| 
       |  -|      2|           |  3|| 
       |  3|   sin \1 + 3*I*log\-e // 
(-I*log\-e /, e                      )

                            /           /  I*(1 + pi)\\ 
       /  I*(1 + pi)\       |           |  ----------|| 
       |  ----------|      2|           |      3     || 
       |      3     |   sin \1 + 3*I*log\-e          // 
(-I*log\-e          /, e                               )

                            /           /  I*(2 + pi)\\ 
       /  I*(2 + pi)\       |           |  ----------|| 
       |  ----------|      2|           |      6     || 
       |      6     |   sin \1 + 3*I*log\-e          // 
(-I*log\-e          /, e                               )

 1   pi    
(- + --, E)
 3   6     

 1   pi    
(- + --, 1)
 3   3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
x2=−π+atan⁡(sin⁡(13)cos⁡(13))x_{2} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{3} \right)}}{\cos{\left(\frac{1}{3} \right)}} \right)}
x3=−π+atan⁡(im⁡(ei3eiπ3)re⁡(ei3eiπ3))x_{3} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\operatorname{im}{\left(e^{\frac{i}{3}} e^{\frac{i \pi}{3}}\right)}}{\operatorname{re}{\left(e^{\frac{i}{3}} e^{\frac{i \pi}{3}}\right)}} \right)}
x4=13+π3x_{4} = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x4=−π+atan⁡(im⁡(ei3eiπ6)re⁡(ei3eiπ6))x_{4} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\operatorname{im}{\left(e^{\frac{i}{3}} e^{\frac{i \pi}{6}}\right)}}{\operatorname{re}{\left(e^{\frac{i}{3}} e^{\frac{i \pi}{6}}\right)}} \right)}
x4=13+π6x_{4} = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
[13+π3,∞)\left[\frac{1}{3} + \frac{\pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π+atan⁡(sin⁡(13)cos⁡(13))]\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{3} \right)}}{\cos{\left(\frac{1}{3} \right)}} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞esin⁡2(1−3x)=⟨1,e⟩\lim_{x \to -\infty} e^{\sin^{2}{\left(1 - 3 x \right)}} = \left\langle 1, e\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨1,e⟩y = \left\langle 1, e\right\rangle
lim⁡x→∞esin⁡2(1−3x)=⟨1,e⟩\lim_{x \to \infty} e^{\sin^{2}{\left(1 - 3 x \right)}} = \left\langle 1, e\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨1,e⟩y = \left\langle 1, e\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(sin(1 - 3*x)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(esin⁡2(1−3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\sin^{2}{\left(1 - 3 x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(esin⁡2(1−3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\sin^{2}{\left(1 - 3 x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
esin⁡2(1−3x)=esin⁡2(3x+1)e^{\sin^{2}{\left(1 - 3 x \right)}} = e^{\sin^{2}{\left(3 x + 1 \right)}}
- No
esin⁡2(1−3x)=−esin⁡2(3x+1)e^{\sin^{2}{\left(1 - 3 x \right)}} = - e^{\sin^{2}{\left(3 x + 1 \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = e^(sin(1-3*x)^(2))
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