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Trazado el gráfico de la función/ ln(ln(x))

Gráfico de la función y = ln(ln(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = log(log(x))
f(x)=log⁡(log⁡(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} 
f = log(log(x))
Gráfico de la función
5501015202530354045-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(log⁡(x))=0\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=ex_{1} = e
Solución numérica
x1=2.71828182845905x_{1} = 2.71828182845905
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(log(x)).
log⁡(log⁡(0))\log{\left(\log{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1xlog⁡(x)=0\frac{1}{x \log{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1+1log⁡(x)x2log⁡(x)=0- \frac{1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}{x^{2} \log{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−1x_{1} = e^{-1}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,e−1]\left(-\infty, e^{-1}\right]
Convexa en los intervalos
[e−1,∞)\left[e^{-1}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(log⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡(log⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(log(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(log⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(log⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(log⁡(x))=log⁡(log⁡(−x))\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}
- No
log⁡(log⁡(x))=−log⁡(log⁡(−x))\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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