Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ abs(1-e^(-x))

Gráfico de la función y = abs(1-e^(-x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |     -x|
f(x) = |1 - E  |
f(x)=∣1−e−x∣f{\left(x \right)} = \left|{1 - e^{- x}}\right| 
f = Abs(1 - E^(-x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010040000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣1−e−x∣=0\left|{1 - e^{- x}}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(1 - E^(-x)).
∣1−e−0∣\left|{1 - e^{- 0}}\right|
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
e−xsign⁡(1−e−x)=0e^{- x} \operatorname{sign}{\left(1 - e^{- x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=45.1816620378446x_{1} = 45.1816620378446
x2=75.1816620378446x_{2} = 75.1816620378446
x3=95.1816620378446x_{3} = 95.1816620378446
x4=103.181662037845x_{4} = 103.181662037845
x5=33.1816620378446x_{5} = 33.1816620378446
x6=51.1816620378446x_{6} = 51.1816620378446
x7=89.1816620378446x_{7} = 89.1816620378446
x8=53.1816620378446x_{8} = 53.1816620378446
x9=69.1816620378446x_{9} = 69.1816620378446
x10=57.1816620378446x_{10} = 57.1816620378446
x11=101.181662037845x_{11} = 101.181662037845
x12=113.181662037845x_{12} = 113.181662037845
x13=43.1816620378446x_{13} = 43.1816620378446
x14=73.1816620378446x_{14} = 73.1816620378446
x15=47.1816620378446x_{15} = 47.1816620378446
x16=37.1816620378446x_{16} = 37.1816620378446
x17=87.1816620378446x_{17} = 87.1816620378446
x18=119.181662037845x_{18} = 119.181662037845
x19=59.1816620378446x_{19} = 59.1816620378446
x20=39.1816620378446x_{20} = 39.1816620378446
x21=117.181662037845x_{21} = 117.181662037845
x22=97.1816620378446x_{22} = 97.1816620378446
x23=71.1816620378446x_{23} = 71.1816620378446
x24=121.181662037845x_{24} = 121.181662037845
x25=49.1816620378446x_{25} = 49.1816620378446
x26=0x_{26} = 0
x27=79.1816620378446x_{27} = 79.1816620378446
x28=55.1816620378446x_{28} = 55.1816620378446
x29=77.1816620378446x_{29} = 77.1816620378446
x30=63.1816620378446x_{30} = 63.1816620378446
x31=111.181662037845x_{31} = 111.181662037845
x32=81.1816620378446x_{32} = 81.1816620378446
x33=31.1816620378446x_{33} = 31.1816620378446
x34=67.1816620378446x_{34} = 67.1816620378446
x35=99.1816620378446x_{35} = 99.1816620378446
x36=83.1816620378446x_{36} = 83.1816620378446
x37=41.1816620378446x_{37} = 41.1816620378446
x38=107.181662037845x_{38} = 107.181662037845
x39=29.1816620378446x_{39} = 29.1816620378446
x40=65.1816620378446x_{40} = 65.1816620378446
x41=85.1816620378446x_{41} = 85.1816620378446
x42=109.181662037845x_{42} = 109.181662037845
x43=93.1816620378446x_{43} = 93.1816620378446
x44=35.1816620378446x_{44} = 35.1816620378446
x45=61.1816620378446x_{45} = 61.1816620378446
x46=91.1816620378446x_{46} = 91.1816620378446
x47=115.181662037845x_{47} = 115.181662037845
x48=105.181662037845x_{48} = 105.181662037845
Signos de extremos en los puntos:
(45.18166203784463, 1)

(75.18166203784463, 1)

(95.18166203784463, 1)

(103.18166203784463, 1)

(33.18166203784463, 0.999999999999996)

(51.18166203784463, 1)

(89.18166203784463, 1)

(53.18166203784463, 1)

(69.18166203784463, 1)

(57.18166203784463, 1)

(101.18166203784463, 1)

(113.18166203784463, 1)

(43.18166203784463, 1)

(73.18166203784463, 1)

(47.18166203784463, 1)

(37.18166203784463, 1)

(87.18166203784463, 1)

(119.18166203784463, 1)

(59.18166203784463, 1)

(39.18166203784463, 1)

(117.18166203784463, 1)

(97.18166203784463, 1)

(71.18166203784463, 1)

(121.18166203784463, 1)

(49.18166203784463, 1)

(0, 0)

(79.18166203784463, 1)

(55.18166203784463, 1)

(77.18166203784463, 1)

(63.18166203784463, 1)

(111.18166203784463, 1)

(81.18166203784463, 1)

(31.181662037844628, 0.999999999999971)

(67.18166203784463, 1)

(99.18166203784463, 1)

(83.18166203784463, 1)

(41.18166203784463, 1)

(107.18166203784463, 1)

(29.181662037844628, 0.999999999999788)

(65.18166203784463, 1)

(85.18166203784463, 1)

(109.18166203784463, 1)

(93.18166203784463, 1)

(35.18166203784463, 0.999999999999999)

(61.18166203784463, 1)

(91.18166203784463, 1)

(115.18166203784463, 1)

(105.18166203784463, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−sign⁡(1−e−x)+2e−xδ(1−e−x))e−x=0\left(- \operatorname{sign}{\left(1 - e^{- x} \right)} + 2 e^{- x} \delta\left(1 - e^{- x}\right)\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣1−e−x∣=∞\lim_{x \to -\infty} \left|{1 - e^{- x}}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞∣1−e−x∣=1\lim_{x \to \infty} \left|{1 - e^{- x}}\right| = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(1 - E^(-x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣1−e−x∣x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{1 - e^{- x}}\right|}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(∣1−e−x∣x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{1 - e^{- x}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣1−e−x∣=∣ex−1∣\left|{1 - e^{- x}}\right| = \left|{e^{x} - 1}\right|
- No
∣1−e−x∣=−∣ex−1∣\left|{1 - e^{- x}}\right| = - \left|{e^{x} - 1}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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