Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ abs(0.25*x^2-3*abs(x))

Gráfico de la función y = abs(0.25*x^2-3*abs(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       | 2        |
       |x         |
f(x) = |-- - 3*|x||
       |4         |
f(x)=∣x24−3∣x∣∣f{\left(x \right)} = \left|{\frac{x^{2}}{4} - 3 \left|{x}\right|}\right| 
f = Abs(x^2/4 - 3*|x|)
Gráfico de la función
02468-4-2101214020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣x24−3∣x∣∣=0\left|{\frac{x^{2}}{4} - 3 \left|{x}\right|}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−12x_{1} = -12
x2=0x_{2} = 0
x3=12x_{3} = 12
Solución numérica
x1=−12x_{1} = -12
x2=12x_{2} = 12
x3=0x_{3} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(x^2/4 - 3*|x|).
∣024−3∣0∣∣\left|{\frac{0^{2}}{4} - 3 \left|{0}\right|}\right|
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x2−3sign⁡(x))sign⁡(x24−3∣x∣)=0\left(\frac{x}{2} - 3 \operatorname{sign}{\left(x \right)}\right) \operatorname{sign}{\left(\frac{x^{2}}{4} - 3 \left|{x}\right| \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=6x_{1} = 6
x2=−12x_{2} = -12
x3=0x_{3} = 0
x4=12x_{4} = 12
x5=−6x_{5} = -6
Signos de extremos en los puntos:
(6, 9)

(-12, 0)

(0, 0)

(12, 0)

(-6, 9)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−12x_{1} = -12
x2=0x_{2} = 0
x3=12x_{3} = 12
Puntos máximos de la función:
x3=6x_{3} = 6
x3=−6x_{3} = -6
Decrece en los intervalos
[12,∞)\left[12, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, -12\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−6sign⁡(x))2δ(x24−3∣x∣)−(12δ(x)−1)sign⁡(x24−3∣x∣)2=0\frac{\left(x - 6 \operatorname{sign}{\left(x \right)}\right)^{2} \delta\left(\frac{x^{2}}{4} - 3 \left|{x}\right|\right) - \left(12 \delta\left(x\right) - 1\right) \operatorname{sign}{\left(\frac{x^{2}}{4} - 3 \left|{x}\right| \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣x24−3∣x∣∣=∞\lim_{x \to -\infty} \left|{\frac{x^{2}}{4} - 3 \left|{x}\right|}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞∣x24−3∣x∣∣=∞\lim_{x \to \infty} \left|{\frac{x^{2}}{4} - 3 \left|{x}\right|}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(x^2/4 - 3*|x|), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣x24−3∣x∣∣x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\frac{x^{2}}{4} - 3 \left|{x}\right|}\right|}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(∣x24−3∣x∣∣x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\frac{x^{2}}{4} - 3 \left|{x}\right|}\right|}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣x24−3∣x∣∣=∣x24−3∣x∣∣\left|{\frac{x^{2}}{4} - 3 \left|{x}\right|}\right| = \left|{\frac{x^{2}}{4} - 3 \left|{x}\right|}\right|
- Sí
∣x24−3∣x∣∣=−∣x24−3∣x∣∣\left|{\frac{x^{2}}{4} - 3 \left|{x}\right|}\right| = - \left|{\frac{x^{2}}{4} - 3 \left|{x}\right|}\right|
- No
es decir, función
es
par
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