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Trazado el gráfico de la función/ x^2+1/x^2-1

Gráfico de la función y = x^2+1/x^2-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2   1     
f(x) = x  + -- - 1
             2    
            x
f(x)=(x2+1x2)−1f{\left(x \right)} = \left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) - 1 
f = x^2 + 1/(x^2) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2+1x2)−1=0\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2 + 1/(x^2) - 1.
−1+(02+102)-1 + \left(0^{2} + \frac{1}{0^{2}}\right)
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−2xx2=02 x - \frac{2}{x x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 1)

(1, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1+3x4)=02 \left(1 + \frac{3}{x^{4}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2+1x2)−1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2+1x2)−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 + 1/(x^2) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2+1x2)−1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) - 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x2+1x2)−1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) - 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2+1x2)−1=(x2+1x2)−1\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) - 1 = \left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) - 1
- Sí
(x2+1x2)−1=(−x2−1x2)+1\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) - 1 = \left(- x^{2} - \frac{1}{x^{2}}\right) + 1
- No
es decir, función
es
par
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