Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log((3-x)/(2*x+3))

Gráfico de la función y = log((3-x)/(2*x+3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 3 - x \
f(x) = log|-------|
          \2*x + 3/
f(x)=log⁡(3−x2x+3)f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{3 - x}{2 x + 3} \right)} 
f = log((3 - x)/(2*x + 3))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1.5x_{1} = -1.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(3−x2x+3)=0\log{\left(\frac{3 - x}{2 x + 3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((3 - x)/(2*x + 3)).
log⁡(3−00⋅2+3)\log{\left(\frac{3 - 0}{0 \cdot 2 + 3} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2x+3)(−2(3−x)(2x+3)2−12x+3)3−x=0\frac{\left(2 x + 3\right) \left(- \frac{2 \left(3 - x\right)}{\left(2 x + 3\right)^{2}} - \frac{1}{2 x + 3}\right)}{3 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2(x−3)2x+3−1)(22x+3+1x−3)x−3=0\frac{\left(\frac{2 \left(x - 3\right)}{2 x + 3} - 1\right) \left(\frac{2}{2 x + 3} + \frac{1}{x - 3}\right)}{x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=34x_{1} = \frac{3}{4}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1.5x_{1} = -1.5

lim⁡x→−1.5−((2(x−3)2x+3−1)(22x+3+1x−3)x−3)=∞\lim_{x \to -1.5^-}\left(\frac{\left(\frac{2 \left(x - 3\right)}{2 x + 3} - 1\right) \left(\frac{2}{2 x + 3} + \frac{1}{x - 3}\right)}{x - 3}\right) = \infty
lim⁡x→−1.5+((2(x−3)2x+3−1)(22x+3+1x−3)x−3)=∞\lim_{x \to -1.5^+}\left(\frac{\left(\frac{2 \left(x - 3\right)}{2 x + 3} - 1\right) \left(\frac{2}{2 x + 3} + \frac{1}{x - 3}\right)}{x - 3}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,34]\left(-\infty, \frac{3}{4}\right]
Convexa en los intervalos
[34,∞)\left[\frac{3}{4}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1.5x_{1} = -1.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(3−x2x+3)=−log⁡(2)+iπ\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{3 - x}{2 x + 3} \right)} = - \log{\left(2 \right)} + i \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−log⁡(2)+iπy = - \log{\left(2 \right)} + i \pi
lim⁡x→∞log⁡(3−x2x+3)=−log⁡(2)+iπ\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{3 - x}{2 x + 3} \right)} = - \log{\left(2 \right)} + i \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−log⁡(2)+iπy = - \log{\left(2 \right)} + i \pi
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((3 - x)/(2*x + 3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(3−x2x+3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{3 - x}{2 x + 3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(3−x2x+3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{3 - x}{2 x + 3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(3−x2x+3)=log⁡(x+33−2x)\log{\left(\frac{3 - x}{2 x + 3} \right)} = \log{\left(\frac{x + 3}{3 - 2 x} \right)}
- No
log⁡(3−x2x+3)=−log⁡(x+33−2x)\log{\left(\frac{3 - x}{2 x + 3} \right)} = - \log{\left(\frac{x + 3}{3 - 2 x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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