Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x/sqrt(x-4)

Gráfico de la función y = x/sqrt(x-4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           x    
f(x) = ---------
         _______
       \/ x - 4
f(x)=xx−4f{\left(x \right)} = \frac{x}{\sqrt{x - 4}} 
f = x/sqrt(x - 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=4x_{1} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xx−4=0\frac{x}{\sqrt{x - 4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/sqrt(x - 4).
0−4\frac{0}{\sqrt{-4}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x2(x−4)32+1x−4=0- \frac{x}{2 \left(x - 4\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{x - 4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=8x_{1} = 8
Signos de extremos en los puntos:
(8, 4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=8x_{1} = 8
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[8,∞)\left[8, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,8]\left(-\infty, 8\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3x4(x−4)−1(x−4)32=0\frac{\frac{3 x}{4 \left(x - 4\right)} - 1}{\left(x - 4\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=16x_{1} = 16
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=4x_{1} = 4

lim⁡x→4−(3x4(x−4)−1(x−4)32)=−∞i\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{\frac{3 x}{4 \left(x - 4\right)} - 1}{\left(x - 4\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \infty i
lim⁡x→4+(3x4(x−4)−1(x−4)32)=∞\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\frac{3 x}{4 \left(x - 4\right)} - 1}{\left(x - 4\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=4x_{1} = 4
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,16]\left(-\infty, 16\right]
Convexa en los intervalos
[16,∞)\left[16, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=4x_{1} = 4
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xx−4)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x - 4}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xx−4)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x - 4}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/sqrt(x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞1x−4=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x - 4}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞1x−4=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x - 4}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xx−4=−x−x−4\frac{x}{\sqrt{x - 4}} = - \frac{x}{\sqrt{- x - 4}}
- No
xx−4=x−x−4\frac{x}{\sqrt{x - 4}} = \frac{x}{\sqrt{- x - 4}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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