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Trazado el gráfico de la función/ asin(2*t)^2

Gráfico de la función y = asin(2*t)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           2     
f(t) = asin (2*t)
$$f{\left(t \right)} = \operatorname{asin}^{2}{\left(2 t \right)}$$ 
f = asin(2*t)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{asin}^{2}{\left(2 t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:

Solución analítica
$$t_{1} = 0$$
Solución numérica
$$t_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en asin(2*t)^2.
$$\operatorname{asin}^{2}{\left(0 \cdot 2 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 \operatorname{asin}{\left(2 t \right)}}{\sqrt{1 - 4 t^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = 0$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$8 \left(\frac{2 t \operatorname{asin}{\left(2 t \right)}}{\left(1 - 4 t^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{4 t^{2} - 1}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty} \operatorname{asin}^{2}{\left(2 t \right)} = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{t \to \infty} \operatorname{asin}^{2}{\left(2 t \right)} = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin(2*t)^2, dividida por t con t->+oo y t ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = t \lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(2 t \right)}}{t}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = t \lim_{t \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(2 t \right)}}{t}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{asin}^{2}{\left(2 t \right)} = \operatorname{asin}^{2}{\left(2 t \right)}$$
- Sí
$$\operatorname{asin}^{2}{\left(2 t \right)} = - \operatorname{asin}^{2}{\left(2 t \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
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