Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ctg(3x/5)

Gráfico de la función y = ctg(3x/5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /3*x\
f(x) = cot|---|
          \ 5 /
f(x)=cot⁡(3x5)f{\left(x \right)} = \cot{\left(\frac{3 x}{5} \right)} 
f = cot((3*x)/5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot⁡(3x5)=0\cot{\left(\frac{3 x}{5} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=5π6x_{1} = \frac{5 \pi}{6}
Solución numérica
x1=7.85398163397448x_{1} = 7.85398163397448
x2=−81.1578102177363x_{2} = -81.1578102177363
x3=−86.3937979737193x_{3} = -86.3937979737193
x4=−96.8657734856853x_{4} = -96.8657734856853
x5=−2.61799387799149x_{5} = -2.61799387799149
x6=23.5619449019235x_{6} = 23.5619449019235
x7=81.1578102177363x_{7} = 81.1578102177363
x8=−65.4498469497874x_{8} = -65.4498469497874
x9=−39.2699081698724x_{9} = -39.2699081698724
x10=−60.2138591938044x_{10} = -60.2138591938044
x11=86.3937979737193x_{11} = 86.3937979737193
x12=−34.0339204138894x_{12} = -34.0339204138894
x13=−75.9218224617533x_{13} = -75.9218224617533
x14=−18.3259571459405x_{14} = -18.3259571459405
x15=−70.6858347057703x_{15} = -70.6858347057703
x16=60.2138591938044x_{16} = 60.2138591938044
x17=65.4498469497874x_{17} = 65.4498469497874
x18=13.0899693899575x_{18} = 13.0899693899575
x19=−49.7418836818384x_{19} = -49.7418836818384
x20=91.6297857297023x_{20} = 91.6297857297023
x21=39.2699081698724x_{21} = 39.2699081698724
x22=−13.0899693899575x_{22} = -13.0899693899575
x23=49.7418836818384x_{23} = 49.7418836818384
x24=70.6858347057703x_{24} = 70.6858347057703
x25=96.8657734856853x_{25} = 96.8657734856853
x26=−7.85398163397448x_{26} = -7.85398163397448
x27=−23.5619449019235x_{27} = -23.5619449019235
x28=−91.6297857297023x_{28} = -91.6297857297023
x29=44.5058959258554x_{29} = 44.5058959258554
x30=−44.5058959258554x_{30} = -44.5058959258554
x31=2.61799387799149x_{31} = 2.61799387799149
x32=−54.9778714378214x_{32} = -54.9778714378214
x33=34.0339204138894x_{33} = 34.0339204138894
x34=54.9778714378214x_{34} = 54.9778714378214
x35=18.3259571459405x_{35} = 18.3259571459405
x36=75.9218224617533x_{36} = 75.9218224617533
x37=−28.7979326579064x_{37} = -28.7979326579064
x38=−102.101761241668x_{38} = -102.101761241668
x39=28.7979326579064x_{39} = 28.7979326579064
x40=102.101761241668x_{40} = 102.101761241668
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot((3*x)/5).
cot⁡(0⋅35)\cot{\left(\frac{0 \cdot 3}{5} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3cot⁡2(3x5)5−35=0- \frac{3 \cot^{2}{\left(\frac{3 x}{5} \right)}}{5} - \frac{3}{5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
18(cot⁡2(3x5)+1)cot⁡(3x5)25=0\frac{18 \left(\cot^{2}{\left(\frac{3 x}{5} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{3 x}{5} \right)}}{25} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5π6x_{1} = \frac{5 \pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,5π6]\left(-\infty, \frac{5 \pi}{6}\right]
Convexa en los intervalos
[5π6,∞)\left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cot⁡(3x5)=−cot⁡(∞)\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(\frac{3 x}{5} \right)} = - \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−cot⁡(∞)y = - \cot{\left(\infty \right)}
lim⁡x→∞cot⁡(3x5)=cot⁡(∞)\lim_{x \to \infty} \cot{\left(\frac{3 x}{5} \right)} = \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=cot⁡(∞)y = \cot{\left(\infty \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot((3*x)/5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cot⁡(3x5)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{3 x}{5} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cot⁡(3x5)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{3 x}{5} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot⁡(3x5)=−cot⁡(3x5)\cot{\left(\frac{3 x}{5} \right)} = - \cot{\left(\frac{3 x}{5} \right)}
- No
cot⁡(3x5)=cot⁡(3x5)\cot{\left(\frac{3 x}{5} \right)} = \cot{\left(\frac{3 x}{5} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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