Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ctg(sqrt(x))

Gráfico de la función y = ctg(sqrt(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  ___\
f(x) = cot\\/ x /
f(x)=cot⁡(x)f{\left(x \right)} = \cot{\left(\sqrt{x} \right)} 
f = cot(sqrt(x))
Gráfico de la función
0.01.02.03.04.05.06.07.08.09.010.0-2000020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot⁡(x)=0\cot{\left(\sqrt{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π24x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}
Solución numérica
x1=120.902653913345x_{1} = 120.902653913345
x2=2.46740110027234x_{2} = 2.46740110027234
x3=61.6850275068085x_{3} = 61.6850275068085
x4=22.2066099024511x_{4} = 22.2066099024511
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot(sqrt(x)).
cot⁡(0)\cot{\left(\sqrt{0} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−cot⁡2(x)−12x=0\frac{- \cot^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} - 1}{2 \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2cot⁡(x)x+1x32)(cot⁡2(x)+1)4=0\frac{\left(\frac{2 \cot{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \left(\cot^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−360.093832390592x_{1} = -360.093832390592
x2=−215.643748397306x_{2} = -215.643748397306
x3=−338.121526917515x_{3} = -338.121526917515
x4=−305.898425191857x_{4} = -305.898425191857
x5=−333.631273200236x_{5} = -333.631273200236
x6=−150.500312473554x_{6} = -150.500312473554
x7=−203.011438264629x_{7} = -203.011438264629
x8=−301.127530485535x_{8} = -301.127530485535
x9=−377.163338523505x_{9} = -377.163338523505
x10=−324.544288179172x_{10} = -324.544288179172
x11=−364.400590575919x_{11} = -364.400590575919
x12=−189.594765168046x_{12} = -189.594765168046
x13=−385.549032361876x_{13} = -385.549032361876
x14=−167.405073440505x_{14} = -167.405073440505
x15=−159.229359816865x_{15} = -159.229359816865
x16=−291.438511845936x_{16} = -291.438511845936
x17=−239.163669248547x_{17} = -239.163669248547
x18=−182.518623088617x_{18} = -182.518623088617
x19=−196.414219033973x_{19} = -196.414219033973
x20=−286.515024498671x_{20} = -286.515024498671
x21=−381.367939173416x_{21} = -381.367939173416
x22=−351.39586522784x_{22} = -351.39586522784
x23=−281.534889579688x_{23} = -281.534889579688
x24=121.899923069404x_{24} = 121.899923069404
x25=−221.719462794567x_{25} = -221.719462794567
x26=−250.248997751565x_{26} = -250.248997751565
x27=23.1923372303557x_{27} = 23.1923372303557
x28=−276.494744027849x_{28} = -276.494744027849
x29=−347.002556029073x_{29} = -347.002556029073
x30=−342.578185194657x_{30} = -342.578185194657
x31=−355.759263432179x_{31} = -355.759263432179
x32=−233.467386229031x_{32} = -233.467386229031
x33=−175.141538072278x_{33} = -175.141538072278
x34=−260.975153788074x_{34} = -260.975153788074
x35=−315.304796373311x_{35} = -315.304796373311
x36=62.6797232117804x_{36} = 62.6797232117804
x37=−244.75476627322x_{37} = -244.75476627322
x38=−368.680498227285x_{38} = -368.680498227285
x39=−271.39088179932x_{39} = -271.39088179932
x40=−372.934461893247x_{40} = -372.934461893247
x41=−310.623456145653x_{41} = -310.623456145653
x42=−319.944453792194x_{42} = -319.944453792194
x43=−227.65634865999x_{43} = -227.65634865999
x44=−266.219203134195x_{44} = -266.219203134195
x45=3.37308928662621x_{45} = 3.37308928662621
x46=−141.045202248222x_{46} = -141.045202248222
x47=−255.653651696758x_{47} = -255.653651696758
x48=−209.413859722324x_{48} = -209.413859722324
x49=−329.106025967221x_{49} = -329.106025967221
x50=−296.308414349133x_{50} = -296.308414349133

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,3.37308928662621]\left(-\infty, 3.37308928662621\right]
Convexa en los intervalos
[121.899923069404,∞)\left[121.899923069404, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cot⁡(x)=−i\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(\sqrt{x} \right)} = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−iy = - i
lim⁡x→∞cot⁡(x)=cot⁡(∞)\lim_{x \to \infty} \cot{\left(\sqrt{x} \right)} = \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=cot⁡(∞)y = \cot{\left(\infty \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(sqrt(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cot⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(\sqrt{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cot⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(\sqrt{x} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot⁡(x)=cot⁡(−x)\cot{\left(\sqrt{x} \right)} = \cot{\left(\sqrt{- x} \right)}
- No
cot⁡(x)=−cot⁡(−x)\cot{\left(\sqrt{x} \right)} = - \cot{\left(\sqrt{- x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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