Sr Examen

Gráfico de la función y = 4*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = 4*cos(x)
f(x)=4cos(x)f{\left(x \right)} = 4 \cos{\left(x \right)}
f = 4*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4cos(x)=04 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=168.075206967054x_{1} = -168.075206967054
x2=1.5707963267949x_{2} = 1.5707963267949
x3=39.2699081698724x_{3} = 39.2699081698724
x4=39.2699081698724x_{4} = -39.2699081698724
x5=14.1371669411541x_{5} = 14.1371669411541
x6=70.6858347057703x_{6} = -70.6858347057703
x7=32.9867228626928x_{7} = 32.9867228626928
x8=61.261056745001x_{8} = 61.261056745001
x9=36.1283155162826x_{9} = 36.1283155162826
x10=61.261056745001x_{10} = -61.261056745001
x11=36.1283155162826x_{11} = -36.1283155162826
x12=48.6946861306418x_{12} = -48.6946861306418
x13=7.85398163397448x_{13} = 7.85398163397448
x14=387.986692718339x_{14} = -387.986692718339
x15=70.6858347057703x_{15} = 70.6858347057703
x16=80.1106126665397x_{16} = -80.1106126665397
x17=42.4115008234622x_{17} = 42.4115008234622
x18=51.8362787842316x_{18} = 51.8362787842316
x19=98.9601685880785x_{19} = -98.9601685880785
x20=80.1106126665397x_{20} = 80.1106126665397
x21=64.4026493985908x_{21} = -64.4026493985908
x22=29.845130209103x_{22} = -29.845130209103
x23=98.9601685880785x_{23} = 98.9601685880785
x24=83.2522053201295x_{24} = 83.2522053201295
x25=89.5353906273091x_{25} = -89.5353906273091
x26=86.3937979737193x_{26} = -86.3937979737193
x27=10.9955742875643x_{27} = -10.9955742875643
x28=17.2787595947439x_{28} = 17.2787595947439
x29=26.7035375555132x_{29} = -26.7035375555132
x30=54.9778714378214x_{30} = -54.9778714378214
x31=92.6769832808989x_{31} = -92.6769832808989
x32=89.5353906273091x_{32} = 89.5353906273091
x33=58.1194640914112x_{33} = 58.1194640914112
x34=4.71238898038469x_{34} = 4.71238898038469
x35=20.4203522483337x_{35} = 20.4203522483337
x36=73.8274273593601x_{36} = 73.8274273593601
x37=67.5442420521806x_{37} = -67.5442420521806
x38=45.553093477052x_{38} = 45.553093477052
x39=58.1194640914112x_{39} = -58.1194640914112
x40=51.8362787842316x_{40} = -51.8362787842316
x41=2266.65909956504x_{41} = -2266.65909956504
x42=83.2522053201295x_{42} = -83.2522053201295
x43=76.9690200129499x_{43} = -76.9690200129499
x44=14.1371669411541x_{44} = -14.1371669411541
x45=73.8274273593601x_{45} = -73.8274273593601
x46=92.6769832808989x_{46} = 92.6769832808989
x47=20.4203522483337x_{47} = -20.4203522483337
x48=64.4026493985908x_{48} = 64.4026493985908
x49=95.8185759344887x_{49} = 95.8185759344887
x50=67.5442420521806x_{50} = 67.5442420521806
x51=54.9778714378214x_{51} = 54.9778714378214
x52=48.6946861306418x_{52} = 48.6946861306418
x53=4.71238898038469x_{53} = -4.71238898038469
x54=76.9690200129499x_{54} = 76.9690200129499
x55=7.85398163397448x_{55} = -7.85398163397448
x56=45.553093477052x_{56} = -45.553093477052
x57=95.8185759344887x_{57} = -95.8185759344887
x58=29.845130209103x_{58} = 29.845130209103
x59=26.7035375555132x_{59} = 26.7035375555132
x60=17.2787595947439x_{60} = -17.2787595947439
x61=32.9867228626928x_{61} = -32.9867228626928
x62=1.5707963267949x_{62} = -1.5707963267949
x63=23.5619449019235x_{63} = 23.5619449019235
x64=10.9955742875643x_{64} = 10.9955742875643
x65=86.3937979737193x_{65} = 86.3937979737193
x66=23.5619449019235x_{66} = -23.5619449019235
x67=42.4115008234622x_{67} = -42.4115008234622
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4*cos(x).
4cos(0)4 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4sin(x)=0- 4 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 4)

(pi, -4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(,0][π,)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4cos(x)=0- 4 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(,π2][3π2,)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(4cos(x))=4,4\lim_{x \to -\infty}\left(4 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=4,4y = \left\langle -4, 4\right\rangle
limx(4cos(x))=4,4\lim_{x \to \infty}\left(4 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=4,4y = \left\langle -4, 4\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(4cos(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(4cos(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4cos(x)=4cos(x)4 \cos{\left(x \right)} = 4 \cos{\left(x \right)}
- Sí
4cos(x)=4cos(x)4 \cos{\left(x \right)} = - 4 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = 4*cos(x)