Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-sqrt(-1-x^2)
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3+x
-
y=(x^3)/(x^2-4)
-
Expresiones idénticas
- sin(x)+sin(x+ ciento veinte)
- seno de (x) más seno de (x más 120)
- seno de (x) más seno de (x más ciento veinte)
- sinx+sinx+120
-
Expresiones semejantes
- sin(x)-sin(x+120)
- sin(x)+sin(x-120)
- sinx+sin(x+120)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)^2/(x^2*cos(x)^2)
- sin(3*x)+x^4
- sin(pi*x)/sin(pi*x)
- sin(4*x)*cos(x)+2*sin(3*x)-cos(4*x)*sin(x)
- sin((pi*x^2)/(1+x^2))
- Seno sin
- sin(x)^2/(x^2*cos(x)^2)
- sin(3*x)+x^4
- sin(pi*x)/sin(pi*x)
- sin(4*x)*cos(x)+2*sin(3*x)-cos(4*x)*sin(x)
- sin((pi*x^2)/(1+x^2))
Gráfico de la función y = sin(x)+sin(x+120)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = sin(x) + sin(x + 120)
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)}$$
f = sin(x) + sin(x + 120)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - i \log{\left(- e^{- 60 i} \right)}$$
$$x_{2} = -60 + 20 \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -88.2743338823081$$
$$x_{2} = -3.45133223538372$$
$$x_{3} = 43.6725575684632$$
$$x_{4} = 15.398223686155$$
$$x_{5} = -16.0177028497429$$
$$x_{6} = 49.9557428756428$$
$$x_{7} = 46.814150222053$$
$$x_{8} = 5.97344572538566$$
$$x_{9} = 100.221225333079$$
$$x_{10} = 27.9645943005142$$
$$x_{11} = -91.4159265358979$$
$$x_{12} = 12.2566310325652$$
$$x_{13} = -12.8761101961531$$
$$x_{14} = -44.292036732051$$
$$x_{15} = -50.5752220392306$$
$$x_{16} = 24.8230016469244$$
$$x_{17} = 62.5221134900019$$
$$x_{18} = 65.6637061435917$$
$$x_{19} = -41.1504440784612$$
$$x_{20} = 97.0796326794897$$
$$x_{21} = -53.7168146928204$$
$$x_{22} = -327.035375555132$$
$$x_{23} = 18.5398163397448$$
$$x_{24} = 87.6548547187203$$
$$x_{25} = 21.6814089933346$$
$$x_{26} = -100.840704496667$$
$$x_{27} = -78.8495559215388$$
$$x_{28} = 59.3805208364121$$
$$x_{29} = -75.707963267949$$
$$x_{30} = -22.3008881569225$$
$$x_{31} = -0.309739581793928$$
$$x_{32} = 34.2477796076938$$
$$x_{33} = -47.4336293856408$$
$$x_{34} = -85.1327412287183$$
$$x_{35} = -97.6991118430775$$
$$x_{36} = -60$$
$$x_{37} = 9.11503837897545$$
$$x_{38} = -28.5840734641021$$
$$x_{39} = 68.8052987971815$$
$$x_{40} = -81.9911485751285$$
$$x_{41} = -94.5575191894877$$
$$x_{42} = 2.83185307179586$$
$$x_{43} = -72.5663706143592$$
$$x_{44} = 31.106186954104$$
$$x_{45} = -63.1415926535898$$
$$x_{46} = -69.4247779607694$$
$$x_{47} = 84.5132620651305$$
$$x_{48} = 40.5309649148734$$
$$x_{49} = -38.0088514248714$$
$$x_{50} = 81.3716694115407$$
$$x_{51} = -66.2831853071796$$
$$x_{52} = -25.4424808105123$$
$$x_{53} = -31.7256661176919$$
$$x_{54} = -19.1592955033327$$
$$x_{55} = -56.8584073464102$$
$$x_{56} = 75.0884841043611$$
$$x_{57} = 37.3893722612836$$
$$x_{58} = 71.9468914507713$$
$$x_{59} = 90.7964473723101$$
$$x_{60} = 78.2300767579509$$
$$x_{61} = 93.9380400258999$$
$$x_{62} = -9.73451754256331$$
$$x_{63} = -6.59292488897352$$
$$x_{64} = -34.8672587712817$$
$$x_{65} = 53.0973355292326$$
$$x_{66} = 56.2389281828223$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - i \log{\left(- e^{- 60 i} \right)}$$
$$x_{2} = -60 + 20 \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -88.2743338823081$$
$$x_{2} = -3.45133223538372$$
$$x_{3} = 43.6725575684632$$
$$x_{4} = 15.398223686155$$
$$x_{5} = -16.0177028497429$$
$$x_{6} = 49.9557428756428$$
$$x_{7} = 46.814150222053$$
$$x_{8} = 5.97344572538566$$
$$x_{9} = 100.221225333079$$
$$x_{10} = 27.9645943005142$$
$$x_{11} = -91.4159265358979$$
$$x_{12} = 12.2566310325652$$
$$x_{13} = -12.8761101961531$$
$$x_{14} = -44.292036732051$$
$$x_{15} = -50.5752220392306$$
$$x_{16} = 24.8230016469244$$
$$x_{17} = 62.5221134900019$$
$$x_{18} = 65.6637061435917$$
$$x_{19} = -41.1504440784612$$
$$x_{20} = 97.0796326794897$$
$$x_{21} = -53.7168146928204$$
$$x_{22} = -327.035375555132$$
$$x_{23} = 18.5398163397448$$
$$x_{24} = 87.6548547187203$$
$$x_{25} = 21.6814089933346$$
$$x_{26} = -100.840704496667$$
$$x_{27} = -78.8495559215388$$
$$x_{28} = 59.3805208364121$$
$$x_{29} = -75.707963267949$$
$$x_{30} = -22.3008881569225$$
$$x_{31} = -0.309739581793928$$
$$x_{32} = 34.2477796076938$$
$$x_{33} = -47.4336293856408$$
$$x_{34} = -85.1327412287183$$
$$x_{35} = -97.6991118430775$$
$$x_{36} = -60$$
$$x_{37} = 9.11503837897545$$
$$x_{38} = -28.5840734641021$$
$$x_{39} = 68.8052987971815$$
$$x_{40} = -81.9911485751285$$
$$x_{41} = -94.5575191894877$$
$$x_{42} = 2.83185307179586$$
$$x_{43} = -72.5663706143592$$
$$x_{44} = 31.106186954104$$
$$x_{45} = -63.1415926535898$$
$$x_{46} = -69.4247779607694$$
$$x_{47} = 84.5132620651305$$
$$x_{48} = 40.5309649148734$$
$$x_{49} = -38.0088514248714$$
$$x_{50} = 81.3716694115407$$
$$x_{51} = -66.2831853071796$$
$$x_{52} = -25.4424808105123$$
$$x_{53} = -31.7256661176919$$
$$x_{54} = -19.1592955033327$$
$$x_{55} = -56.8584073464102$$
$$x_{56} = 75.0884841043611$$
$$x_{57} = 37.3893722612836$$
$$x_{58} = 71.9468914507713$$
$$x_{59} = 90.7964473723101$$
$$x_{60} = 78.2300767579509$$
$$x_{61} = 93.9380400258999$$
$$x_{62} = -9.73451754256331$$
$$x_{63} = -6.59292488897352$$
$$x_{64} = -34.8672587712817$$
$$x_{65} = 53.0973355292326$$
$$x_{66} = 56.2389281828223$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x + 120 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- i e^{- 60 i} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(i e^{- 60 i} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(60 \right)}}{\sin{\left(60 \right)}} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(60 \right)}}{\sin{\left(60 \right)}} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(60 \right)}}{\sin{\left(60 \right)}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(60 \right)}}{\sin{\left(60 \right)}} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(60 \right)}}{\sin{\left(60 \right)}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(60 \right)}}{\sin{\left(60 \right)}} \right)}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x + 120 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- i e^{- 60 i} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(i e^{- 60 i} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ -60*I\ / / -60*I\\ / / -60*I\\ (-I*log\-I*e /, - sin\I*log\-I*e // + sin\120 - I*log\-I*e //)
/ -60*I\ / / -60*I\\ / / -60*I\\ (-I*log\I*e /, - sin\I*log\I*e // + sin\120 - I*log\I*e //)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(60 \right)}}{\sin{\left(60 \right)}} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(60 \right)}}{\sin{\left(60 \right)}} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(60 \right)}}{\sin{\left(60 \right)}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(60 \right)}}{\sin{\left(60 \right)}} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(60 \right)}}{\sin{\left(60 \right)}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(60 \right)}}{\sin{\left(60 \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- e^{- 60 i} \right)}$$
$$x_{2} = -60 + 20 \pi$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(60 \right)}}{\cos{\left(60 \right)}} \right)}\right] \cup \left[-60 + 20 \pi, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(60 \right)}}{\cos{\left(60 \right)}} \right)}, -60 + 20 \pi\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- e^{- 60 i} \right)}$$
$$x_{2} = -60 + 20 \pi$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(60 \right)}}{\cos{\left(60 \right)}} \right)}\right] \cup \left[-60 + 20 \pi, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(60 \right)}}{\cos{\left(60 \right)}} \right)}, -60 + 20 \pi\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + sin(x + 120), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x - 120 \right)}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)} = \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x - 120 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x - 120 \right)}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x + 120 \right)} = \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x - 120 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar