Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{\left(1 - 4 x\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(2 x^{2} - x\right)^{2}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x^{2} - x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -36.0733073927357$$
$$x_{2} = -17.1643896641337$$
$$x_{3} = 83.2281070241343$$
$$x_{4} = -92.6554591893109$$
$$x_{5} = -146.07039056826$$
$$x_{6} = 70.657435894006$$
$$x_{7} = 133.502679772622$$
$$x_{8} = -32.9265087001586$$
$$x_{9} = 20.321018631394$$
$$x_{10} = -234.040116465095$$
$$x_{11} = -98.9400078705904$$
$$x_{12} = -61.228535997509$$
$$x_{13} = -4.29688073062396$$
$$x_{14} = -10.8166922839577$$
$$x_{15} = 39.2186277185756$$
$$x_{16} = -29.7786207090615$$
$$x_{17} = 58.0848960227159$$
$$x_{18} = -73.8004249933117$$
$$x_{19} = 48.6533891002321$$
$$x_{20} = -86.3707127173706$$
$$x_{21} = -64.3717094603944$$
$$x_{22} = 64.3714682321418$$
$$x_{23} = 4.24685618155305$$
$$x_{24} = -58.0851922643893$$
$$x_{25} = 29.7774951945507$$
$$x_{26} = -45.5094131197257$$
$$x_{27} = -67.5147363402674$$
$$x_{28} = -51.7978706314535$$
$$x_{29} = -7.6044036299673$$
$$x_{30} = 86.3705786985474$$
$$x_{31} = 10.8082647220758$$
$$x_{32} = 36.0725399363809$$
$$x_{33} = -54.9416491782843$$
$$x_{34} = 92.6553427311299$$
$$x_{35} = -23.4778452246275$$
$$x_{36} = 98.9399057345691$$
$$x_{37} = -42.3646013539783$$
$$x_{38} = 89.5129884969563$$
$$x_{39} = -95.7977558274714$$
$$x_{40} = 51.7974981573003$$
$$x_{41} = -83.228251351774$$
$$x_{42} = -20.3234297666297$$
$$x_{43} = -13.9976618998335$$
$$x_{44} = -80.0857220416987$$
$$x_{45} = -39.2192771214636$$
$$x_{46} = -89.5131132733529$$
$$x_{47} = -70.6576361247775$$
$$x_{48} = 95.7976468825434$$
$$x_{49} = 45.5089306885769$$
$$x_{50} = 76.9429476280804$$
$$x_{51} = 13.9926015005689$$
$$x_{52} = 32.9255877834222$$
$$x_{53} = 67.5145170408089$$
$$x_{54} = 73.8002414477712$$
$$x_{55} = 26.6278544006731$$
$$x_{56} = 23.4760366331244$$
$$x_{57} = 7.58758171747805$$
$$x_{58} = -48.6538112330368$$
$$x_{59} = 54.9413180871628$$
$$x_{60} = 136.64461809754$$
$$x_{61} = -26.629261207086$$
$$x_{62} = 17.1610147949848$$
$$x_{63} = -164.92150625143$$
$$x_{64} = 42.3640447116631$$
$$x_{65} = -76.9431164905173$$
$$x_{66} = -111.508645315696$$
$$x_{67} = 80.0855661682394$$
$$x_{68} = 61.2282693782829$$
Signos de extremos en los puntos:
(-36.07330739273565, 0.000378409829906177)
(-17.164389664133715, 0.0016383111928405)
(83.22810702413427, 7.25973527891064e-5)
(-92.6554591893109, 5.79148680929556e-5)
(-146.07039056825965, -2.3351834406482e-5)
(70.65743589400596, 0.00010082384878673)
(133.50267977262195, 2.8155984508492e-5)
(-32.926508700158635, -0.000453466809933223)
(20.321018631393986, 0.00123524299426628)
(-234.04011646509474, -9.10849741076886e-6)
(-98.94000787059045, 5.08099359319328e-5)
(-61.228535997509006, 0.000132221005872525)
(-4.29688073062396, 0.0221940606019355)
(-10.816692283957657, 0.00401948304659095)
(39.2186277185756, 0.000328841314259972)
(-29.778620709061464, 0.000553309434771598)
(58.084896022715945, 0.000149395896579978)
(-73.80042499331171, 9.1151012327063e-5)
(48.65338910023206, -0.000213235549605497)
(-86.3707127173706, 6.66214962099955e-5)
(-64.37170946039444, -0.000119677281551582)
(64.37146823214182, 0.000121550998547096)
(4.246856181553046, -0.0280782535366716)
(-58.085192264389335, -0.000146845827722571)
(29.77749519455068, -0.000572207868395497)
(-45.509413119725735, -0.000238565496761885)
(-67.51473634026739, 0.000108837695229613)
(-51.79787063145349, -0.000184439391144058)
(-7.604403629967304, -0.00786167453681668)
(86.37057869854738, -6.73973317200321e-5)
(10.808264722075767, -0.00440925193343162)
(36.072539936380856, -0.000389047410148076)
(-54.941649178284266, 0.000164039033443944)
(92.6553427311299, -5.8543315991717e-5)
(-23.477845224627472, 0.000885042188556929)
(98.93990573456912, -5.13260874783403e-5)
(-42.36460135397832, 0.000275036471364038)
(89.51298849695627, 6.27366868541981e-5)
(-95.79775582747143, -5.41881554078957e-5)
(51.79749815730034, 0.00018803486320722)
(-83.228251351774, -7.17302928160696e-5)
(-20.32342976662966, -0.00117591969701007)
(-13.997661899833481, -0.00243992632873915)
(-80.0857220416987, 7.74501496715224e-5)
(-39.21927712146365, -0.000320562110146279)
(-89.51311327335294, -6.20397136237912e-5)
(-70.65763612477747, -9.94069384432706e-5)
(95.7976468825434, 5.47567751609162e-5)
(45.50893068857694, 0.000243865871922579)
(76.9429476280804, 8.49798837721946e-5)
(13.992601500568927, 0.00262072681376104)
(32.92558778342224, 0.000467451456060374)
(67.51451704080893, -0.000110461783889127)
(73.80024144777123, -9.23945402664635e-5)
(26.62785440067309, 0.000716613669121957)
(23.476036633124423, -0.000923560901371955)
(7.587581717478047, 0.00896957847001892)
(-48.653811233036826, 0.000208897402473162)
(54.94131808716276, -0.000167052159143292)
(136.64461809754002, -2.68738760826538e-5)
(-26.629261207085975, -0.000690198196745318)
(17.161014794984833, -0.00173663325223855)
(-164.92150625143046, -1.83260515992046e-5)
(42.36404471166314, -0.000281606181595646)
(-76.94311649051728, -8.38825625347312e-5)
(-111.5086453156963, 4.0025833785194e-5)
(80.08556616823942, -7.84233170127252e-5)
(61.22826937828288, -0.000134398257372984)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -146.07039056826$$
$$x_{2} = -32.9265087001586$$
$$x_{3} = -234.040116465095$$
$$x_{4} = 48.6533891002321$$
$$x_{5} = -64.3717094603944$$
$$x_{6} = 4.24685618155305$$
$$x_{7} = -58.0851922643893$$
$$x_{8} = 29.7774951945507$$
$$x_{9} = -45.5094131197257$$
$$x_{10} = -51.7978706314535$$
$$x_{11} = -7.6044036299673$$
$$x_{12} = 86.3705786985474$$
$$x_{13} = 10.8082647220758$$
$$x_{14} = 36.0725399363809$$
$$x_{15} = 92.6553427311299$$
$$x_{16} = 98.9399057345691$$
$$x_{17} = -95.7977558274714$$
$$x_{18} = -83.228251351774$$
$$x_{19} = -20.3234297666297$$
$$x_{20} = -13.9976618998335$$
$$x_{21} = -39.2192771214636$$
$$x_{22} = -89.5131132733529$$
$$x_{23} = -70.6576361247775$$
$$x_{24} = 67.5145170408089$$
$$x_{25} = 73.8002414477712$$
$$x_{26} = 23.4760366331244$$
$$x_{27} = 54.9413180871628$$
$$x_{28} = 136.64461809754$$
$$x_{29} = -26.629261207086$$
$$x_{30} = 17.1610147949848$$
$$x_{31} = -164.92150625143$$
$$x_{32} = 42.3640447116631$$
$$x_{33} = -76.9431164905173$$
$$x_{34} = 80.0855661682394$$
$$x_{35} = 61.2282693782829$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{35} = -36.0733073927357$$
$$x_{35} = -17.1643896641337$$
$$x_{35} = 83.2281070241343$$
$$x_{35} = -92.6554591893109$$
$$x_{35} = 70.657435894006$$
$$x_{35} = 133.502679772622$$
$$x_{35} = 20.321018631394$$
$$x_{35} = -98.9400078705904$$
$$x_{35} = -61.228535997509$$
$$x_{35} = -4.29688073062396$$
$$x_{35} = -10.8166922839577$$
$$x_{35} = 39.2186277185756$$
$$x_{35} = -29.7786207090615$$
$$x_{35} = 58.0848960227159$$
$$x_{35} = -73.8004249933117$$
$$x_{35} = -86.3707127173706$$
$$x_{35} = 64.3714682321418$$
$$x_{35} = -67.5147363402674$$
$$x_{35} = -54.9416491782843$$
$$x_{35} = -23.4778452246275$$
$$x_{35} = -42.3646013539783$$
$$x_{35} = 89.5129884969563$$
$$x_{35} = 51.7974981573003$$
$$x_{35} = -80.0857220416987$$
$$x_{35} = 95.7976468825434$$
$$x_{35} = 45.5089306885769$$
$$x_{35} = 76.9429476280804$$
$$x_{35} = 13.9926015005689$$
$$x_{35} = 32.9255877834222$$
$$x_{35} = 26.6278544006731$$
$$x_{35} = 7.58758171747805$$
$$x_{35} = -48.6538112330368$$
$$x_{35} = -111.508645315696$$
Decrece en los intervalos
$$\left[136.64461809754, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -234.040116465095\right]$$